géométrie symplectique

Discipline

branche de la géométrie différentielle et de la topologie différentielle

domaine: géométrie différentielle · topologie différentielle

Pour comprendre

La géométrie symplectique étudie la structure des espaces de phases de la mécanique. Dans un tel espace, l’état d’un système réunit à la fois ses positions et ses impulsions. La géométrie pertinente n’y repose pas d’abord sur la mesure des longueurs, mais sur une structure qui mesure les aires et organise l’évolution mécanique.

Ce qu'elle étudie

Associer positions et impulsions permet de décrire un état mécanique comme un point unique d’un espace plus vaste. La discipline analyse les transformations qui respectent la structure de cet espace et la mesure des aires qui le caractérise. Elle fournit ainsi une lecture géométrique des trajectoires mécaniques : le mouvement devient une courbe dans l’espace des phases. Cette approche met l’accent sur les relations conservées au cours de l’évolution plutôt que sur la seule distance entre les états.

À quoi elle sert

Elle sert à :

formuler géométriquement la mécanique classique et la mécanique céleste ;
étudier les systèmes mécaniques décrits par leurs positions, leurs impulsions et leur énergie.

Où elle se place

Elle se situe entre la géométrie différentielle et la topologie différentielle. Elle constitue la géométrie naturelle des espaces de phases utilisés en mécanique.

flowchart TD
  P0[géométrie différentielle] --> D([géométrie symplectique])
  P1[topologie différentielle] --> D([géométrie symplectique])
  P0 --> S0[géométrie riemannienne]
  P0 --> S1[géométrie spin]

Cas d’usage

Suivons une masse au bout d'un ressort. Le plan des états $(q,p)$ est l'espace des phases : $q$ est la position, $p$ l'impulsion, masse fois vitesse. La masse et la raideur, résistance du ressort à l'allongement, valent $1$. L'énergie est $H=(p^2+q^2)/2$, et les vitesses de variation sont $dq/dt=p$, $dp/dt=-q$. Au temps $t$ :

$$q(t)=q\cos t+p\sin t$$

$$p(t)=-q\sin t+p\cos t$$

Partons de $(1,0)$, ressort tendu, masse immobile. À $t=\pi/2$, on atteint $(0,-1)$ : ressort à sa longueur de repos, vitesse maximale vers l'arrière. À $t=\pi$, $(-1,0)$ : ressort comprimé, masse immobile. L'état tourne dans le sens des aiguilles d'une montre et $q(t)^2+p(t)^2=q^2+p^2$. Cette rotation conserve les aires. Le disque d'énergie au plus $E$ a pour aire $\pi(\sqrt{2E})^2=2\pi E$. Pour $E=1/2$, elle vaut $\pi\approx3{,}14$.

Laissons ensuite le point avancer sans force. En une unité de temps, $(q,p)$ devient $(q+p,p)$. Le carré $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ devient le parallélogramme $(0,0),(1,0),(2,1),(1,1)$. Les points avec $p=1$ avancent de $1$ ; ceux avec $p=0$ restent fixes. L'aire reste $1$. Le côté de $(0,0)$ à $(0,1)$ relie maintenant $(0,0)$ à $(1,1)$ : il mesure $\sqrt2\approx1{,}414$.

Doubler seulement les positions, $(q,p)\mapsto(2q,p)$, doublerait l'aire. La matrice (un tableau) $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ décrit une transformation symplectique si son déterminant $ad-bc$, facteur d'aire signé, vaut $1$. Avec $J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, on a $M^TJM=(ad-bc)J$ ; $M^T$ échange lignes et colonnes.

Comparons enfin deux transformations pour deux ressorts, dans l'espace $(q_1,q_2,p_1,p_2)$. Doublons $q_1,p_2$ et divisons $p_1,q_2$ par deux. Les aires des couples $(q_1,p_1)$ et $(q_2,p_2)$ sont multipliées par $2\times1/2=1$ et $1/2\times2=1$ : la transformation est symplectique.

Doublons plutôt $q_1,p_1$ et divisons $q_2,p_2$ par deux. Les aires sont multipliées par $4$ et $1/4$. Le volume est conservé, puisque $4\times1/4=1$, mais pas les aires couple par couple : la transformation n'est pas symplectique.

Liens

a compté parmi ses contributeurs: Maryam Mirzakhani

Sources

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Rédaction Synapx INTERNE

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