géométrie symplectique

La géométrie symplectique étudie la structure des espaces de phases de la mécanique. Dans un tel espace, l’état d’un système réunit à la fois ses positions et ses impulsions. La géométrie pertinente n’y repose pas d’abord sur la mesure des longueurs, mais sur une structure qui mesure les aires et organise l’évolution mécanique.

Ce qu'elle étudie

Associer positions et impulsions permet de décrire un état mécanique comme un point unique d’un espace plus vaste. La discipline analyse les transformations qui respectent la structure de cet espace et la mesure des aires qui le caractérise. Elle fournit ainsi une lecture géométrique des trajectoires mécaniques : le mouvement devient une courbe dans l’espace des phases. Cette approche met l’accent sur les relations conservées au cours de l’évolution plutôt que sur la seule distance entre les états.

À quoi elle sert

Elle sert à :

• formuler géométriquement la mécanique classique et la mécanique céleste ;
• étudier les systèmes mécaniques décrits par leurs positions, leurs impulsions et leur énergie.

Où elle se place

Elle se situe entre la géométrie différentielle et la topologie différentielle. Elle constitue la géométrie naturelle des espaces de phases utilisés en mécanique.

flowchart TD
  P0[géométrie différentielle] --> D([géométrie symplectique])
  P1[topologie différentielle] --> D([géométrie symplectique])
  P0 --> S0[géométrie riemannienne]
  P0 --> S1[géométrie spin]