identité de Fibonacci-Brahmagupta

Théorème

identité mathématique

Énoncé

$$\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2$$

Multiplier deux sommes de deux carrés : si deux nombres s'écrivent chacun comme une somme de deux carrés, leur produit en est une aussi, et l'identité donne directement lesquelles ; par exemple $5 \times 13 = (1^2+2^2)(2^2+3^2) = 4^2 + 7^2 = 65$.
Nombres complexes : cette égalité est une autre façon d'écrire que le module d'un produit de deux nombres complexes est le produit de leurs modules ; appliquée aux entiers de Gauss, les nombres de la forme $a+ib$, elle montre que la quantité $a^2+b^2$ se comporte bien vis-à-vis de la multiplication.
Équation de Pell-Fermat : Brahmagupta emploie une version généralisée de l'identité pour combiner deux solutions déjà connues d'une équation du type $x^2-dy^2=m$ et en fabriquer une nouvelle, un procédé qu'il appelait bhāvanā, la production.
Diviser une somme de deux carrés : quand un nombre premier qui est une somme de deux carrés en divise un autre qui l'est aussi, l'identité permet de montrer que le quotient est encore une somme de deux carrés, une étape vers le théorème qui décrit tous les nombres se décomposant ainsi.