Histoire des mathématiques Concept

identité trigonométrique pythagoricienne

Concept

sin² θ + cos² θ = 1

Son histoire

Les astronomes grecs travaillaient sur les cordes d'un cercle, ces segments qui relient deux points de son contour. Aryabhata passe à la moitié de ces longueurs, appelée jiva en sanskrit. Varahamihira établit ensuite, dans son traité Pañcasiddhāntikā, la relation que l'on appelle aujourd'hui l'identité trigonométrique pythagoricienne.

Le mot « sinus » vient d'une erreur de traduction. Les Arabes transcrivent jiva en jiba, que les traducteurs de Tolède lisent jaib au XIIe siècle. Sans les voyelles, les deux termes s'écrivent de la même façon. Robert de Chester et Gérard de Crémone retiennent le sens de « pli » et le traduisent par le latin sinus.

En 1579, François Viète donne les premières formules de trigonométrie, encore rédigées en phrases. L'Anglais Edmund Gunter forge le nom « cosinus » dans son Canon triangulorum de 1620. Ce mot abrège sinus complementi, le sinus de l'angle complémentaire.

Sources : Wikipédia, articles « Identité trigonométrique pythagoricienne », « Histoire des fonctions trigonométriques », « Théorème de Pythagore », « Varāhamihira », « History of trigonometry » et « Edmund Gunter ».

Énoncé

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta=1$$

Cas d’usage

  • Mécanique : en éliminant le temps entre la position et la vitesse d'un oscillateur harmonique, l'identité montre que ses états décrivent une ellipse, son portrait de phase.
  • Cinématique : quand les composantes d'une vitesse sont un cosinus et un sinus, l'identité montre que sa norme reste constante, signe d'un mouvement circulaire uniforme.
  • Mécanique quantique : un état de polarisation de coefficients \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) est automatiquement normalisé, la somme des probabilités valant 1.
  • Géométrie : elle relie le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs à leurs longueurs, ce qui permet de passer d'une description par l'angle à un calcul d'aire.

Liens

porte le nom de

Sources