inégalité de Cauchy-Schwarz

Conditions d'application

• Il suffit que le « produit » \(\langle u,v\rangle\) soit symétrique et positif, c'est-à-dire que \(\langle u,u\rangle \geq 0\) pour tout vecteur \(u\) ; il n'est pas nécessaire qu'il ne s'annule qu'en 0.
• Le cas d'égalité, où les deux vecteurs sont proportionnels, suppose en revanche un vrai produit scalaire, nul seulement pour le vecteur nul ; sans cela, l'égalité peut se produire pour des vecteurs qui ne sont pas proportionnels.

Cas d'usage

• Statistique : appliquée à la covariance de deux variables, l'inégalité enferme le coefficient de corrélation entre −1 et 1, ce qui en fait une mesure bornée de la force d'une liaison linéaire.
• Mécanique quantique : pour deux états physiques normés, l'inégalité garantit que le carré de leur produit scalaire reste compris entre 0 et 1, condition nécessaire pour qu'il représente une probabilité de transition.
• Principe d'incertitude : combinée à un résultat sur la transformée de Fourier, l'inégalité minore le produit de l'étalement d'un signal dans le temps par l'étalement de son spectre en fréquence : un signal bref occupe nécessairement une large bande de fréquences.
• Définir un angle entre deux vecteurs : l'inégalité assure que le produit scalaire divisé par le produit des longueurs reste entre −1 et 1, ce qui permet de le lire comme le cosinus d'un angle, même dans des espaces à plus de trois dimensions.
• Inégalité triangulaire : elle entraîne l'inégalité de Minkowski, selon laquelle la longueur d'une somme de deux vecteurs ne dépasse jamais la somme de leurs longueurs, condition pour que la distance associée au produit scalaire soit une vraie distance.