Liber abaci

Un livre du calcul adressé aux Latins

L'ouvrage s'ouvre sur une déclaration : « Ici commence le livre du calcul composé par Léonard, fils de Bonacci, de Pise, en l'an 1202 ». Son auteur, Léonard de Pise, de la famille Bonacci, est connu sous le nom de Fibonacci. Le texte que l'on lit aujourd'hui, dans l'édition de Boncompagni (Rome, 1857), est une version corrigée. Léonard l'adresse à Michel Scot, qu'il appelle « mon maître » et « très grand philosophe » : il dit l'avoir revue à sa demande, en ajoutant le nécessaire et en retranchant le superflu.

Le projet est annoncé sans détour. Léonard juge l'algorisme et les « arcs de Pythagore », c'est-à-dire le calcul sur l'abaque, « presque une erreur » au regard de la méthode des Indiens. Il entend que « la gent latine » ne soit plus privée de cette science. Il y a mêlé ses propres idées et des éléments tirés de la géométrie d'Euclide, et affirme donner une preuve pour presque tout ce qu'il avance. Le livre est divisé en quinze chapitres.

Le prologue de Bougie

Dans son prologue, Léonard explique d'où lui vient ce savoir. Son père était scribe public à la douane de Bougie, établie pour les marchands pisans. Il y fit venir son fils encore enfant et voulut qu'il y étudie le calcul « quelques jours ». C'est là que Léonard fut initié à « l'art des neuf figures des Indiens », qui lui plut plus que tout le reste.

Il ne s'en tint pas à cette première leçon. Ses voyages de commerce le menèrent en Égypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence. Dans chacun de ces lieux, il apprit ce qui s'enseignait du calcul et prit part aux discussions.

Les neuf figures et le zéro

Le chapitre 1 commence par cette phrase : « Les neuf figures des Indiens sont 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Avec ces neuf figures et avec ce signe 0, que les Arabes appellent zephirum, on écrit n'importe quel nombre. »

Le texte explique ensuite que les nombres se rangent par degrés. Le premier degré, celui des unités, s'écrit à droite. Le deuxième, celui des dizaines, le suit vers la gauche, puis viennent les centaines, les milliers, et ainsi à l'infini. Chaque degré vaut dix fois le précédent. Ainsi, le nombre 1202, qui est celui de l'année de l'ouvrage, se décompose :

Le chiffre 0 n'a pas de valeur par lui-même : il marque un degré vide, ici celui des dizaines, et maintient chacun des autres chiffres à sa place. Le même chapitre enseigne aussi à retenir les nombres sur les mains.

Les quinze chapitres

Les titres donnés par l'auteur se regroupent en quatre ensembles.

• Les opérations sur les entiers (chapitres 1 à 5) : la connaissance des neuf figures et l'écriture des nombres, puis la multiplication, l'addition, la soustraction et la division.
• Les fractions, que Léonard nomme « nombres rompus » (chapitres 6 et 7) : la multiplication des entiers avec les fractions, puis l'addition, la soustraction et la division.
• Le commerce (chapitres 8 à 11) : l'achat et la vente des marchandises, le troc et l'achat de monnaie, les sociétés formées entre associés, l'alliage des monnaies.
• Les problèmes, les racines et l'algèbre (chapitres 12 à 15) : la solution de nombreux problèmes « qu'on appelle erratiques », la règle « elchataym » par laquelle se résolvent presque toutes ces questions, la recherche des racines carrées et cubiques, enfin les règles de proportion relevant de la géométrie et les questions « d'aliebra et almuchabala ».

Le problème des lapins

Au chapitre 12, après une recherche des nombres parfaits qui aboutit à 496, Léonard pose un problème devenu bien connu. Quelqu'un place un couple de lapins dans un lieu entouré de murs de tous côtés, pour savoir combien de couples en naîtront en un an. Chaque couple en engendre un autre chaque mois, et un couple n'engendre qu'à partir du deuxième mois après sa naissance.

Le texte compte mois par mois : 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, puis 377 couples au bout de l'année. Léonard remarque lui-même la règle : on joint le premier nombre au deuxième, le deuxième au troisième, et ainsi de suite, « et tu peux faire ainsi, dans l'ordre, pour une infinité de mois ». En notation actuelle, elle s'écrit :

Ici, \(F_n\) désigne le nombre de couples au rang \(n\), \(F_{n-1}\) celui du rang précédent et \(F_{n+1}\) celui du rang suivant : chaque terme est la somme des deux qui le précèdent. Cette suite porte aujourd'hui le nom de « suite de Fibonacci ».