Histoire des mathématiques Discipline

logique algébrique

Discipline

raisonnement obtenu en manipulant des équations avec des variables libres

domaine
Logique mathématique

Pour comprendre

La logique algébrique étudie une forme de raisonnement qui consiste à manipuler des équations comportant des variables libres. Plutôt que de raisonner directement sur des propositions logiques, elle traduit ce raisonnement en opérations sur des équations, ce qui permet de lui appliquer des méthodes de nature algébrique.

Où elle se place

Elle appartient à la logique mathématique, aux côtés d'autres branches comme la théorie de la démonstration.

flowchart TD
  P0[Logique mathématique] --> D([logique algébrique])
  P0 --> S0[theorie de la demonstration]

Cas d’usage

La logique algébrique traite les classes d'objets et les relations par des calculs. Une classe \(x\) rassemble des objets ; \(xy\) garde ceux communs à \(x\) et \(y\), \(1\) désigne tout, \(0\) rien, \(1-x\) ce qui est hors de \(x\).

Sélectionnons deux fois les objets de \(x\). Rien ne change : \(xx=x\), soit \(x^2=x\). Pour des nombres, cela donne \(x^2-x=0\), puis \(x(x-1)=0\) : seules solutions, \(0\) et \(1\), « faux » et « vrai ». L'écriture \(x(1-x)=0\) dit que rien n'est à la fois dans et hors de \(x\). Pour « ou », \(x+y-xy\) retire le double comptage : les couples \((0;0),(1;0),(0;1)\) donnent respectivement \(0,1,1\), et \((1;1)\) donne \(1+1-1=1\).

Déduisons une relation entre animaux. Posons \(x\) pour ceux à plumes, \(y\) pour les mammifères, \(z\) pour les oiseaux. « Aucun mammifère n'a de plumes » donne \(xy=0\) ; « tout oiseau a des plumes » donne \(z=zx\). Alors :

$$zy=(zx)y=z(xy)=z\times0=0$$

Aucun oiseau n'est donc un mammifère. Sur les huit affectations de \(0\) et \(1\) à \(x,y,z\), chaque fois que les deux prémisses sont vraies, cette conclusion l'est aussi.

Calculons des parentés entre \(a,b,c,d\). Une matrice est un tableau de nombres : dans \(P\), le \(1\) en ligne \(u\), colonne \(v\), signifie que \(u\) est parent de \(v\). L'ordre est \(a,b,c,d\) :

$$P=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Le produit enchaîne les relations, avec \(1+1\) compté comme \(1\). Dans \(P^2\), la ligne \(a\) est \((0,0,1,1)\), les autres sont nulles : \(a\) est grand-parent de \(c,d\). Dans \(P^3\), tout vaut \(0\) : aucun arrière-grand-parent.

Échanger lignes et colonnes donne « enfant de » : ligne \(b\), \((1,0,0,0)\) ; lignes \(c,d\), \((0,1,0,0)\). Enchaînons avec « parent de » : ligne \(b\), \((0,1,0,0)\) ; lignes \(c,d\), \((0,0,1,1)\). Ces personnes ont un parent commun. Retirons la diagonale, qui relie chacun à lui-même : restent \((c,d)\) et \((d,c)\), frères ou sœurs.

Liens

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Sources