Histoire des mathématiques Discipline

Logique mathématique

Discipline

discipline des mathématiques étudiant celles-ci en tant que langage

domaine
Mathématiques

Pour comprendre

rédaction

Lorsqu'on suit les instructions d'un appareil ou qu'on vérifie une suite de raisons avant de prendre une décision, on enchaîne des affirmations et leurs conséquences. La logique mathématique étudie cet enchaînement : elle fait du raisonnement lui-même un objet d'étude.

Ce qu'elle étudie

Elle examine ce qu'est une démonstration, ce qu'un système d'axiomes peut prouver et ce qu'il ne peut pas prouver. Elle s'intéresse aussi à ce qu'une machine peut calculer et aux questions qu'aucun algorithme ne pourra jamais décider.

L'expression \(P \Rightarrow Q\) signifie : si P, alors Q. Elle relie une affirmation à la conséquence qui doit en découler lorsque cette affirmation est vraie.

$$\bigl((P \Rightarrow Q) \land P\bigr) \Rightarrow Q$$

Si « P entraîne Q » est vrai et que P est vrai, alors Q est vrai : c'est la règle de déduction la plus élémentaire.

À quoi elle sert

Elle fournit des outils pour examiner avec rigueur les règles, les démonstrations et les calculs.

  • Étudier les fondations de toutes les mathématiques par la théorie des ensembles.
  • Concevoir des processeurs à partir de la logique du vrai et du faux.
  • Vérifier des programmes et des systèmes critiques en prouvant qu'un logiciel fait ce qu'il doit.
  • Déterminer les limites du calcul et accompagner le travail des assistants de preuve.

Comment elle s'organise

La théorie de la démonstration et la théorie des modèles étudient ce qui est prouvable et ce qui est vrai dans un cadre donné. La théorie des ensembles, la calculabilité et la logique algébrique complètent cette organisation.

mindmap
  root((Logique mathématique))
    Théorie de la démonstration
      Ce qui est prouvable
    Théorie des modèles
      Ce qui est vrai où
    Théorie des ensembles
      Les fondations
    Calculabilité
      Ce qui est calculable
    Logique algébrique

Liens

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Sources