mathématiques à rebours

Les mathématiques à rebours sont un programme de logique qui inverse la démarche habituelle. Au lieu de partir d’axiomes fixés pour découvrir les théorèmes qu’ils permettent de démontrer, elles partent d’un théorème connu et recherchent les axiomes minimaux qui suffisent à établir sa preuve.

Ce qu'elle étudie

La question n’est donc plus seulement de savoir si un théorème est vrai dans un cadre donné, mais de mesurer exactement la force logique nécessaire pour le démontrer. On compare différentes hypothèses, on retire celles qui ne sont pas indispensables et on observe à quel moment la démonstration devient possible. Cette démarche révèle que des théorèmes d’apparence différente peuvent demander une même force axiomatique, tandis que d’autres exigent des principes plus forts. Le raisonnement à rebours transforme ainsi les preuves en instruments de classement.

À quoi elle sert

Elle sert à :

• déterminer les axiomes minimaux suffisants pour démontrer un théorème ;
• cartographier finement la force relative des systèmes d’axiomes ;
• comparer des théorèmes par les ressources logiques qu’ils exigent.

Où elle se place

Elle relève de la logique mathématique et de l’étude des fondements. Elle relie l’analyse des preuves à la comparaison des systèmes d’axiomes.