mathématiques tropicales

Discipline

branche de la géométrie où l'addition et la multiplication usuelles sont remplacées par d'autres règles de calcul

domaine: Géométrie

Pour comprendre

Les mathématiques tropicales forment une branche de la géométrie, où les opérations usuelles de l'addition et de la multiplication sont remplacées par d'autres règles de calcul, ce qui donne aux objets géométriques étudiés un comportement différent de celui de la géométrie classique.

Ce qu'elle étudie

Cette discipline étudie des structures géométriques construites à partir de ces règles de calcul particulières. Elle s'inscrit dans le vaste ensemble des branches de la géométrie, aux côtés de la géométrie analytique, de la géométrie arithmétique, de la géométrie complexe ou de la géométrie convexe.

Où elle se place

Les mathématiques tropicales appartiennent à la géométrie, dont elles constituent l'une des branches parmi plusieurs autres approches de l'étude des formes et des espaces.

flowchart TD
  P0[Géométrie] --> D([mathématiques tropicales])
  P0 --> S0[géométrie analytique]
  P0 --> S1[géométrie arithmétique]
  P0 --> S2[géométrie complexe]
  P0 --> S3[géométrie convexe]

Cas d’usage

Calculons avec deux opérations tropicales : $a\oplus b=\min(a,b)$ garde le plus petit ; $a\otimes b=a+b$ additionne. Ainsi, $3\oplus5=3$, $3\otimes5=8$ et $7\oplus7=7$.

Les neutres, qui laissent l'autre nombre inchangé, sont $+\infty$ et $0$ : $2\oplus\infty=2$, $2\otimes0=2$. La distributivité permet de multiplier chaque terme avant d'additionner :

$$(2\oplus5)\otimes3=2+3=5$$

$$(2\otimes3)\oplus(5\otimes3)$$

$${}=5\oplus8=5$$

Une puissance répète la multiplication : $x\otimes x\otimes x=3x$, soit $12$ pour $x=4$.

Étudions un polynôme tropical, une expression en puissances avec ces opérations :

$$p(x)=(0\otimes x\otimes x)\oplus(1\otimes x)\oplus3$$

$${}=\min(2x,x+1,3)$$

Le graphe dessine les valeurs de $p(x)$ : il suit $2x$ jusqu'à $x=1$, puis $x+1$ de $1$ à $2$, puis reste à $3$. Les pentes, les hausses par unité horizontale, valent $2$, puis $1$, puis le graphe est plat.

Les racines tropicales sont les cassures où deux termes donnent le minimum : $x=1$, car $2x=x+1=2$ ; $x=2$, car $x+1=3$. Deux racines pour le degré $2$, le plus grand exposant. Factorisons, c'est-à-dire écrivons un produit :

$$(x\oplus1)\otimes(x\oplus2)$$

$${}=\min(x,1)+\min(x,2)$$

$${}=\min(2x,x+1,x+2,3)$$

$${}=\min(2x,x+1,3)=p(x)$$

On retire $x+2$, car $x+2\ge x+1$. Les facteurs correspondent aux racines, comme dans $(X-1)(X-2)$ en algèbre ordinaire.

Calculons les plus courtes distances entre trois villes. Les routes de $1$ à $2$, de $2$ à $3$, de $1$ à $3$ mesurent respectivement 3, 4, 9 km. La matrice, un tableau, place la distance de $i$ à $j$ en ligne $i$, colonne $j$ :

$$D=\begin{pmatrix}0&3&9\\3&0&4\\9&4&0\end{pmatrix}$$

Chaque case de $D\otimes D$ garde le minimum de $D(i,k)+D(k,j)$ quand $k$ parcourt les villes. Les zéros permettent de rester sur place : les trajets ont au plus deux étapes. De $1$ à $3$ :

$$\min(0+9,3+4,9+0)=7$$

Passer par $2$ réduit donc 9 km à 7 km.

$$D\otimes D=\begin{pmatrix}0&3&7\\3&0&4\\7&4&0\end{pmatrix}$$

Multiplier encore par $D$ ne change rien : toutes les plus courtes distances sont trouvées.

Sources

Rédaction Synapx INTERNE
Wikidata CC0-1.0

wikidata Q2982669