mécanique quantique

Discipline

domaine: physique

Pour comprendre

Le domaine des quanta

À l’échelle atomique, l’énergie s’échange par quanta. L’état d’un système se décrit par une fonction d’onde, ce qui distingue la mécanique quantique des descriptions fondées seulement sur des trajectoires classiques. La théorie introduit ainsi une manière particulière de représenter les systèmes atomiques : les échanges d’énergie sont quantifiés et leur état est associé à une fonction d’onde. Cette description ne retient donc pas seulement l’idée d’une particule suivant un trajet : elle met au centre les états possibles du système et leurs propriétés.

Des niveaux discrets

Les grandeurs sont quantifiées. Dans un puits, seules certaines ondes stationnaires existent ; seules certaines énergies sont donc possibles. Les niveaux d’énergie ne forment pas une continuité : ils sont discrets. L’exemple du puits montre comment les ondes stationnaires déterminent les énergies admises. La mécanique quantique relie de cette manière la description ondulatoire d’un système et l’existence de valeurs d’énergie séparées.

Repères historiques

quanta d'énergie introduits par Planck en 1900
mécanique matricielle de Heisenberg en 1925, équation de Schrödinger en 1926
fondements mathématiques par von Neumann en 1932

La figure montre les trois premières ondes stationnaires d’une particule dans un puits.

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Cas d’usage

Calculons l'énergie d'un photon, grain de lumière rouge. Sa longueur d'onde, distance entre deux crêtes, vaut $\lambda=650$ nm, soit $6{,}5\times10^{-7}$ m. Avec la constante $h=6{,}626\times10^{-34}$ J·s et la vitesse de la lumière $c=2{,}998\times10^8$ m/s :

$$E=hc/\lambda$$

$${}\approx\frac{1{,}986\times10^{-25}}{6{,}5\times10^{-7}}$$

On obtient $3{,}06\times10^{-19}$ J, soit $1{,}91$ eV. L'électronvolt est l'énergie gagnée par un électron sous $1$ volt : $1$ eV vaut $1{,}602\times10^{-19}$ J. Un pointeur de $1$ mW fournit $10^{-3}$ J par seconde. Il émet par seconde :

$$\frac{10^{-3}}{3{,}06\times10^{-19}}$$

$${}\approx3{,}3\times10^{15}$$

Ces photons innombrables font paraître la lumière continue.

Calculons les énergies d'un électron de masse $m=9{,}109\times10^{-31}$ kg enfermé dans un puits large de $L=1$ nm, soit $10^{-9}$ m. L'onde de rang $n$ y loge $n$ demi-longueurs d'onde. La quantité de mouvement $p$ est la masse multipliée par la vitesse :

$$\lambda_n=2L/n,\quad p=h/\lambda_n$$

$$E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$$

$$E_1=\frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{8\times9{,}109\times10^{-31}\times10^{-18}}$$

Les valeurs arrondies sont $E_1=6{,}02\times10^{-20}$ J, soit $0{,}376$ eV ; $E_2=4E_1=1{,}50$ eV ; $E_3=9E_1=3{,}38$ eV. Les niveaux suivent $1,\;4,\;9$, sans valeur intermédiaire. De $n=2$ à $n=1$, l'électron libère $E_2-E_1=3E_1\approx1{,}13$ eV. Le photon émis a $\lambda=hc/E\approx1{,}10$ µm, dans l'infrarouge, invisible à l'œil.

Comparons la précision des positions et des vitesses. Les incertitudes $\Delta x$ et $\Delta p$, marges d'indétermination, obéissent à :

$$\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$$

Ici $\hbar=h/(2\pi)\approx1{,}055\times10^{-34}$ J·s. Pour l'électron, $\Delta x=1$ nm impose, avec des bornes arrondies :

$$\Delta p\ge5{,}27\times10^{-26}\ \mathrm{kg\,m/s}$$

$$\Delta v=\Delta p/m\ge5{,}8\times10^4\ \mathrm{m/s}$$

Soit $58$ km/s. Pour une bille de $1$ g connue au micromètre :

$$\Delta v\ge\frac{5{,}27\times10^{-29}}{10^{-3}}$$

$${}\approx5{,}3\times10^{-26}\ \mathrm{m/s}$$

L'effet est imperceptible à cette échelle.

Dates

premiere trace: quanta d'énergie, Planck
decouverte: mécanique matricielle, Heisenberg
formalisation: fondements mathématiques, von Neumann

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q944