Histoire des mathématiques Concept

nombre de Bernoulli

Concept

suite de nombres rationnels

Son histoire

Depuis l'Antiquité, on sait additionner les carrés ou les cubes des premiers nombres entiers. Les recettes sont alors décrites en mots. Au début du XVIIe siècle, l'Anglais Thomas Harriot semble le premier à les écrire avec des symboles. En 1631, l'Allemand Johann Faulhaber pousse les calculs jusqu'à la puissance 17, sans méthode générale.

Le Suisse Jacques Bernoulli trouve comment traiter toutes ces sommes à l'aide d'une seule suite de nombres. Il se vante d'avoir additionné les puissances dixièmes des mille premiers entiers en moins d'un demi-quart d'heure. Le total atteint 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

Au Japon, Seki Takakazu avait découvert les mêmes nombres de son côté. Son Katsuyō Sanpō paraît en 1712, un an avant l'Ars Conjectandi. Les deux livres sortent après la mort de leurs auteurs. Abraham de Moivre choisira de les appeler « nombres de Bernoulli ».

Ada Lovelace traduit et annote un article de l'Italien Ménabréa consacré à une machine de Charles Babbage. Sa note G détaille les instructions pour lui faire calculer cette suite. Ce travail est tenu pour le premier programme informatique. L'appareil ne sera jamais construit.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Recueil de curiosités mathématiques (2023) ; Wikipédia, articles « Nombre de Bernoulli » et « Bernoulli number ».

Énoncé

$$\mathrm{B}_n = \begin{cases} -\frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} \binom{n + 1}{k} \mathrm{B}_k & n > 0 \\ 1 & n = 0 \end{cases}$$

Cas d’usage

  • Sommes de puissances : les nombres de Bernoulli donnent une formule explicite pour \(1^n+2^n+\cdots+m^n\), ce qui était le but de Bernoulli.
  • Développements en série : ils fournissent les coefficients des développements de la tangente, de la cotangente, de la cotangente hyperbolique et de la cosécante au voisinage de 0.
  • Fonction zêta : ils entrent dans la formule qui donne \(\zeta(2k)\) comme une puissance de \(\pi\) multipliée par un nombre rationnel.
  • Approximations : ils sont les coefficients de la formule d'Euler-Maclaurin, qui compare une somme à une intégrale, et du développement de Stirling des factorielles.
  • Théorie des nombres : le critère de Kummer se sert de leurs numérateurs pour repérer les nombres premiers dits réguliers, pour lesquels il démontre le dernier théorème de Fermat.

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