Histoire des mathématiques Concept

opérateur laplacien

Concept

opérateur différentiel appliqué à un champ scalaire

Son histoire

Dans les années 1780, Pierre-Simon de Laplace étudie l'attraction entre les astres avec l'outil qui portera son nom. Ce calcul trouvera aussi sa place dans les recherches sur la chaleur, l'électricité et les fluides.

William Rowan Hamilton imagine un signe formé d'une lettre delta renversée. À l'endroit, ce caractère désignait déjà le laplacien. Peter Guthrie Tait en développe la théorie à partir de 1867.

En 1870, William Robertson Smith lui propose par lettre le nom « nabla » pour sa ressemblance avec une harpe antique. Ce mot grec désigne l'instrument du roi David dans les Psaumes. Maxwell s'amuse à dire « atled », autrement dit delta lu à l'envers. Il dédie aussi à Tait une ode humoristique qui le salue comme « chef musicien sur le nabla ».

En 1891, Oliver Heaviside juge ce nom « ridiculement inefficace » pour un objet aussi important. Le manuel Vector Analysis, publié en 1901 à partir des cours de Gibbs, recommande de dire « del ». Deux écritures du laplacien coexistent : le delta majuscule et « nabla au carré ».

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; Wikipédia, articles « Pierre-Simon de Laplace », « Opérateur laplacien », « Équation de Laplace », « Laplace operator », « Poisson's equation » et « Nabla ».

Énoncé

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • L'écriture affichée, somme des dérivées secondes selon chaque axe, ne vaut qu'en coordonnées cartésiennes ; en coordonnées polaires du plan, le même opérateur s'écrit \(\partial^2/\partial r^2 + (1/r)\,\partial/\partial r + (1/r^2)\,\partial^2/\partial\theta^2\).

Cas d’usage

  • Électrostatique : le laplacien du potentiel électrique est proportionnel à la densité de charge, \(\Delta V = -\rho/\varepsilon_0\) ; cette équation de Poisson permet de calculer le potentiel d'une distribution de charges.
  • Mécanique quantique : l'énergie cinétique d'une particule s'écrit \(-\hbar^2\nabla^2/(2m)\), si bien que le laplacien entre directement dans l'équation de Schrödinger.
  • Calcul de structures : la méthode des éléments finis résout les problèmes où le laplacien est soumis à des conditions sur les bords, pour modéliser des matériaux et des milieux continus.
  • Apprentissage automatique : le laplacien d'un graphe, sa version discrète, sert au partitionnement spectral, qui regroupe les points de données fortement liés.
  • Fonctions harmoniques : les solutions de \(\Delta u=0\) atteignent leurs extrêmes sur le bord du domaine, propriété qui aide à résoudre et à classer les équations aux dérivées partielles.

Liens

porte le nom de

Sources