Histoire des mathématiques Théorème

petit théorème de Fermat

Théorème

théorème d'arithmétique

Son histoire

Le 18 octobre 1640, Fermat écrit à son ami Frénicle de Bessy au sujet des diviseurs des grands nombres. Il lui annonce un résultat, mais n'en donne pas la preuve. Son excuse est qu'il craint d'être trop long.

Dans ces échanges figurent aussi les nombres qui porteront le nom de Fermat, comme 3, 5, 17, 257 et 65537. Il avoue ne pas avoir prouvé que chacun n'a d'autres diviseurs que 1 et lui-même. La lettre n'est imprimée qu'après la mort de Fermat, quand son fils Samuel la publie en 1679 dans les Varia Opera.

Leibniz rédige une démonstration qui reste manuscrite. La première preuve publiée vient d'Euler, avec un raisonnement pratiquement identique. En 1801, Gauss reprend ce travail et souligne l'élégance et l'utilité du théorème.

Une légende attribue aux Chinois une version de cet énoncé, 2 000 ans avant Fermat. Elle vient d'une mauvaise traduction, amplifiée au fil des citations.

L'adjectif « petit » apparaît en allemand chez Kurt Hensel en 1913, probablement pour la première fois dans un texte imprimé. Il le distingue du « grand » ou « dernier » théorème du même auteur. À la fin des années 1970, Rivest, Shamir et Adleman en tirent une méthode pour chiffrer des messages, connue sous le nom de RSA.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Histoires de problèmes, histoire des mathématiques (IREM) ; Tangente hors-série n° 10, Mille ans d'histoire des mathématiques (2005) ; Wikipédia, articles « Petit théorème de Fermat » et « Fermat's little theorem ».

Énoncé

$$a^p \equiv a \pmod{p}$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Le module \(p\) doit être premier, mais la réciproque est fausse : des nombres composés vérifient aussi la congruence, ce qui piège les tests de primalité naïfs ; \(341 = 11 \times 31\) vérifie déjà \(2^{340} \equiv 1 \pmod{341}\), et \(561 = 3 \times 11 \times 17\), plus petit nombre de Carmichael, la vérifie pour toute base.
  • La forme \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) exige en plus que \(a\) ne soit pas multiple de \(p\) ; sinon \(a^{p-1}\) laisse un reste nul.
  • Pour un module \(n\) quelconque, la congruence ne subsiste, sous la forme généralisée par Euler, que si \(a\) et \(n\) sont premiers entre eux, l'exposant devenant \(\varphi(n)\).

Cas d’usage

  • Chiffrement RSA : sa généralisation par Euler garantit qu'il existe une puissance, la clé de déchiffrement, qui ramène le message chiffré au message d'origine ; ce système protège notamment les numéros de carte bancaire transmis en ligne.
  • Générer de grands nombres premiers pour la cryptographie : pour des nombres de plusieurs centaines de chiffres, essayer tous les diviseurs est impraticable ; le théorème fournit un moyen rapide d'écarter ceux qui ne sont pas premiers.
  • Test de primalité de Fermat : si, pour un entier \(a\) premier avec \(n\), le reste de la division de \(a^{n-1}\) par \(n\) n'est pas 1, alors \(n\) n'est pas premier ; la réciproque ne vaut pas, certains nombres composés passant le test.
  • Test de Miller-Rabin : le test probabiliste employé en pratique pour certifier de grands nombres premiers reprend le principe du test de Fermat en corrigeant ses défauts.

Liens

porte le nom de

Sources