Histoire des mathématiques Concept

polynôme de Legendre

Concept

suite de polynômes orthogonaux

domaine
polynôme de Gegenbauer

Son histoire

Adrien-Marie Legendre étudie l’attraction des corps quand il introduit les polynômes qui portent son nom, une famille d’expressions de calcul. Les sources hésitent entre 1782 et 1783. Lagrange l’avait remarqué après un prix remporté à Berlin, puis avait interrogé Laplace à son sujet. Ses recherches contribuent à son entrée à l’Académie des sciences, le 2 avril 1783.

On les appelle longtemps « coefficients de Laplace », du nom d’un autre savant occupé au même problème. William Whewell emploie notamment cette expression. Une méthode de calcul s’appelle d’abord « formule d’Ivory-Jacobi », du nom de deux savants qui l’ont trouvée indépendamment. Hermite rappelle qu’Olinde Rodrigues les avait précédés. Heine la rebaptise alors en l’honneur de ce premier auteur.

Rodrigues n’a pas fait carrière dans les mathématiques. Né à Bordeaux dans une famille de banquiers, il devient courtier en bourse. Ce disciple et financier du comte de Saint-Simon participe aussi à la création des chemins de fer avec ses cousins Pereire. Ses travaux savants étaient passés inaperçus.

Pendant plus d’un siècle, une autre confusion touche le visage de Legendre. L’image reproduite sous ce nom représente en réalité un homonyme, l’homme politique Louis Legendre. La gravure portait pour seule légende « Legendre ». Le seul portrait authentifié du mathématicien est une caricature à l’aquarelle, dans un album de 73 dessins de membres de l’Institut.

Sources : M. Berger et al., Cinq siècles de mathématiques en France (2005) ; N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Wikipédia, articles « Legendre polynomials », « Spherical harmonics », « Rodrigues' formula », « Gaussian quadrature », « Adrien-Marie Legendre », « Olinde Rodrigues ».

Énoncé

$$\mathrm{P}_n(z) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} z^n}(z^2 - 1)^n, n \in \boldsymbol{\mathsf{N}}$$

Cas d’usage

  • Électrostatique et hydrodynamique : le potentiel créé par une charge, ou l'écoulement d'un fluide autour d'une sphère, se calcule en développant le potentiel en polynômes de Legendre, ce qui résout explicitement les problèmes qui ont un axe de symétrie.
  • Mécanique quantique : ils décrivent la partie angulaire des états de moment cinétique qui ne dépendent pas de l'angle de rotation autour de l'axe, et interviennent dans le calcul de la répulsion entre deux électrons.
  • Physique des plasmas : la répartition en direction des électrons rapides se développe sur ces polynômes, ce qui simplifie le calcul de leur diffusion, chaque terme s'atténuant ensuite avec le temps.
  • Éléments finis : ils servent de base pour représenter des fonctions sur un intervalle, avec l'avantage que l'intégrale du produit de deux polynômes distincts est nulle, ce qui allège les calculs.
  • Intégration numérique : dans la méthode de Gauss-Legendre, on évalue la fonction aux racines d'un polynôme de Legendre, ce qui rend le calcul exact pour des polynômes de degré élevé avec très peu de points.

Liens

a été découvert par
porte le nom de

Sources