Histoire des mathématiques Concept

polynômes associés de Legendre

Concept

solutions canoniques de l'équation de Legendre générale

domaine
fonction

Son histoire

On ne sait pas qui a introduit les polynômes associés de Legendre. Ces outils de calcul viennent des recherches sur l’attraction des corps menées dans les années 1780.

Norman Macleod Ferrers termine premier au concours de mathématiques de Cambridge en 1851. Cet ancien avocat devient prêtre en 1860. Il rassemble ensuite les papiers de George Green, publiés en 1871. Son traité de 1877 porte sur les harmoniques sphériques, qui décrivent des phénomènes sur une sphère. Certaines fonctions de cette famille reçoivent son nom.

En 1935 paraît le livre d’Edward Condon et de George Shortley sur l’atome. La convention qui porte leurs noms change le signe de certains résultats. Les physiciens de l’atome l’utilisent, tandis que les spécialistes de la mesure de la Terre ou de son magnétisme l’omettent généralement.

Sources : Wikipédia, articles « Associated Legendre polynomials », « Spherical harmonics », « Norman Macleod Ferrers », « E. W. Hobson », « Edward Condon », « Polynôme associé de Legendre ».

Énoncé

$$\mathrm{P}_n^m(z) = (-1)^m (1 - z^2)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} \mathrm{P}_n(z), m, n \in \boldsymbol{\mathsf{N}}, m \leq n$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • L'ordre \(m\) doit rester entre 0 et le degré \(n\) : au-delà, la dérivée d'ordre \(m\) d'un polynôme de degré \(n\) est nulle et la fonction aussi.
  • La variable \(z\) doit être réelle et comprise entre −1 et 1 pour que \((1-z^2)^{m/2}\) reste réel ; en pratique on pose \(z=\cos\theta\).
  • Le facteur \((-1)^m\) relève d'une convention : d'autres ouvrages l'omettent, ce qui change le signe de certaines de ces fonctions.

Cas d’usage

  • Mécanique quantique : la partie angulaire des fonctions d'onde en coordonnées sphériques, à partir de laquelle on construit les harmoniques sphériques, s'exprime avec ces polynômes, seules solutions finies de l'équation obtenue en séparant les variables.
  • Équation de Laplace en coordonnées sphériques : pour un potentiel électrostatique par exemple, la partie qui dépend de l'angle mesuré depuis l'axe n'a de solution finie que si c'est un polynôme associé de Legendre.
  • Électrostatique et hydrodynamique : le potentiel d'une charge, ou l'écoulement autour d'une boule, se développe sur ces polynômes ; quand le problème a un axe de symétrie, seuls restent les polynômes de Legendre ordinaires.

Liens

porte le nom de

Sources