Histoire des mathématiques Concept

propriété archimédienne

Concept

propriété de comparaison dans un ensemble totalement ordonné muni d'une multiplication

Son histoire

Archimède attribuait lui-même cette propriété à Eudoxe de Cnide. Elle figure déjà dans les Éléments d'Euclide, au livre V. Les grandeurs en jeu sont des longueurs, des aires, des volumes ou des angles, jamais des nombres.

Dans son traité De la sphère et du cylindre, Archimède en fait un principe de départ. C'est le cinquième et dernier de ceux qu'il énonce en ouverture. Les Grecs s'appuient sur cette idée pour calculer des aires et des volumes courbes.

Au XVIIe siècle, le calcul fait place à des quantités si petites qu'aucune addition répétée ne permet de dépasser une grandeur ordinaire. Ces « infiniment petits » paraissent contredire le principe antique, mais on les conserve parce qu'ils donnent des résultats justes.

L'appellation « axiome d'Archimède » arrive seulement dans les années 1880, avec l'Autrichien Otto Stolz. À la fin du XIXe siècle, l'Italien Veronese étudie des grandeurs qui échappent à cette règle. Cantor refuse d'admettre leur existence, car elles réintroduisent un infiniment petit véritable. En 1899, David Hilbert retient l'axiome d'Archimède parmi les fondements de sa géométrie.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; A. Houlou-Garcia, Mathematikos (2019) ; N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Histoires de problèmes, histoire des mathématiques ; Wikipédia, articles « Axiome d'Archimède », « Archimédien » et « Archimedean property ».

Énoncé

$$nx>y, y>x>0, n\in \N$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • La formule se lit avec des quantificateurs qu'elle ne montre pas : pour tous \(x\) et \(y\) avec \(0 < x < y\), il existe un entier \(n\) tel que \(nx > y\).
  • Elle n'est pas vraie dans tout ensemble ordonné de nombres : dans le corps des fractions rationnelles, ordonné selon le signe du coefficient dominant, aucun multiple entier de \(1/X\) ne dépasse 1, bien que \(1/X\) y soit positif.
  • Elle ne découle pas de la complétude, ni l'inverse : les rationnels sont archimédiens sans être complets, et il existe des corps ordonnés complets qui ne sont pas archimédiens.

Cas d’usage

  • Définir les nombres réels : ils sont, à la façon près de les nommer, le seul ensemble de nombres ordonné, complet et archimédien ; il existe des ensembles ordonnés complets qui ne sont pas archimédiens, si bien que cette propriété doit être posée à part.
  • Passages à la limite : pour un ensemble ordonné, être archimédien équivaut à ce que la suite \(1/n\) tende vers 0, argument qui sert à établir la plupart des limites usuelles.
  • Infiniment petits : un ensemble ordonné qui n'a pas cette propriété contient des grandeurs plus petites que toute fraction \(1/n\), ce qui ouvre la voie à un calcul avec des quantités infinitésimales.
  • Géométrie d'Euclide : le caractère archimédien des grandeurs autorise la méthode d'exhaustion, qui calcule aires et volumes par des approximations de plus en plus fines.
  • Fondements de la géométrie : chez Hilbert, l'axiome d'Archimède, selon lequel un segment reporté assez de fois finit par dépasser n'importe quel autre, sert à reconstruire les nombres réels à partir des seuls axiomes géométriques.

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Sources