Histoire des mathématiques Concept

Règle de d'Alembert

Concept

Convergence des séries

Son histoire

Jean Le Rond d’Alembert est abandonné enfant sur les marches de l’église Saint-Jean-Le-Rond, à Paris. Il reste jusqu’à 48 ans chez la femme qui l’a recueilli. L’Encyclopédie lui doit une bonne partie de ses articles de mathématiques. Sa signature, un « O » majuscule, rappelle le nom de cette église.

Dans les années 1760, d’Alembert cherche à justifier une formule de calcul dans ses Opuscules mathématiques. Il veut s’assurer qu’une addition sans fin aboutit bien à un résultat. Sa règle naît comme un outil pour cette démonstration particulière.

En 1821, Cauchy publie son Cours d’analyse de l’École polytechnique. Il y étudie systématiquement les conditions qui rendent ces sommes possibles et dégage des critères généraux.

Le mot « règle » signifie ici « test », comme dans l’anglais « ratio test », qui renvoie au quotient, le résultat d’une division. Les élèves de classes préparatoires utilisent trop souvent la règle de d’Alembert à l’envers.

Sources : La démonstration mathématique dans l'histoire (colloque inter-IREM) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; B. Hauchecorne, Les mots et les maths ; Wikipédia, articles « Règle de d'Alembert » et « Ratio test ».

Énoncé

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \ell < 1 \implies \sum a_n \text{ converge absolument}$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Le rapport \(|a_{n+1}/a_n|\) doit avoir une limite \(\ell\), et la règle ne conclut pas si \(\ell=1\) : pour \(a_n=1/n^2\) comme pour \(a_n=1/n\), le rapport tend vers 1, alors que la première série converge et la seconde diverge.
  • Si \(\ell>1\), la série diverge nécessairement, son terme général ne pouvant plus tendre vers 0.
  • Quand la règle échoue, la règle de Cauchy, fondée sur la racine n-ième du terme général, permet parfois de trancher.

Cas d’usage

  • Étudier une série : quand le rapport de deux termes consécutifs a une limite, celle-ci suffit à conclure, la série convergeant si la limite est inférieure à 1 et divergeant si elle est supérieure à 1.
  • Rayon de convergence d'une série entière : la limite du rapport de deux coefficients consécutifs donne directement l'inverse de ce rayon.
  • Convergence partout : pour la série qui définit l'exponentielle, le rapport de deux termes consécutifs tend vers 0 quel que soit \(x\), ce qui prouve qu'elle converge pour tout réel.
  • Limites de la méthode : quand le rapport n'a pas de limite, ou qu'elle vaut exactement 1, la règle ne conclut pas, et l'on recourt à d'autres critères comme la règle de Cauchy.

Liens

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Sources