Histoire des mathématiques Théorème

sommation par parties

Théorème

théorème de transformation d'une série, analogue discrète de l'intégration par parties

Son histoire

Le Norvégien Niels Henrik Abel est fils de pasteur. À Christiania, la future Oslo, son professeur Holmboe reconnaît ses dons et lui fait lire les grands textes. Après la mort de son père, en 1820, Abel soutient seul ses frères et sa sœur.

Parti de Norvège en septembre 1825, il rencontre August Crelle à Berlin. Ce dernier lance l’année suivante une revue de mathématiques où le jeune homme publie plusieurs articles.

En 1826, Abel présente dans un mémoire ce qu’on appelle aujourd’hui la « sommation par parties » ou « transformation d’Abel ». Elle lui sert à démontrer rigoureusement une formule proposée par Newton.

À Paris, où il arrive en juillet 1826, il vit dans la pauvreté et apprend qu’il est atteint de tuberculose. En décembre, il écrit à Holmboe qu’il ose y voir la première démonstration de cette formule valable dans tous les cas. Un autre de ses grands mémoires, égaré par Cauchy, ne sera publié qu’en 1841. Le manuscrit sera volé par Guillaume Libri. Certaines pages ne seront retrouvées qu’en 2000, dans une bibliothèque de Florence.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; La démonstration mathématique dans l'histoire (colloque inter-IREM) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; Wikipédia, articles « Sommation par parties » et « Summation by parts ».

Énoncé

$$\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left[f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right] - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_k)$$

Cas d’usage

Cette transformation, dite aussi transformation d'Abel, est pour les sommes l'équivalent de l'intégration par parties.

  • Convergence d'une série : si les sommes partielles d'un facteur restent bornées et que l'autre facteur décroît vers 0, la série converge ; c'est ainsi qu'on prouve la convergence de séries comme celle des \(\cos(n\theta)/n\), qu'aucun critère plus simple ne traite.
  • Séries trigonométriques : pour une suite qui décroît vers 0, elle établit la convergence, uniforme hors de certains points, d'une somme de sinus pondérés par cette suite.
  • Théorème d'Abel : elle sert à montrer qu'une série convergente converge aussi, vers la même somme, pour un procédé de sommation plus général dû à Abel.

Liens

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Sources