théorème d'Al-Kashi

Pour comprendre

rédaction

Énoncé du théorème

Dans un triangle quelconque, notons $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés, et $\gamma$ l’angle opposé au côté $c$, c’est-à-dire l’angle compris entre $a$ et $b$. Le théorème d’Al-Kashi établit alors que :

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma $$

Il permet de calculer un côté lorsqu’on connaît les deux autres côtés et l’angle qu’ils forment. Déplacez les sommets du triangle pour voir comment la longueur $c$ varie avec l’angle $\gamma$.

{ "boundingBox": [ -1, 4.5, 7, -1 ], "axis": true, "grid": true, "polygons": [ { "vertices": [ [ 0, 0 ], [ 5, 0 ], [ 1.5, 3.5 ] ], "color": "#2563eb", "draggable": true } ] }

Un prolongement de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique seulement aux triangles rectangles. Al-Kashi le généralise à tous les triangles grâce au terme $-2ab\cos\gamma$.

Si $\gamma = 90°$, alors $\cos 90° = 0$. Ce terme disparaît et la formule devient :

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

On retrouve exactement le théorème de Pythagore : $c$ est alors l’hypoténuse. Selon que l’angle $\gamma$ est aigu ou obtus, le cosinus est positif ou négatif, ce qui rend $c$ respectivement plus court ou plus long que dans le cas rectangle.

Exemple de calcul

Prenons $a = 5$, $b = 7$ et $\gamma = 60°$. Comme $\cos 60° = \frac12$, on remplace chaque donnée dans la formule :

$$ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac12 $$

Calculons pas à pas : $5^2 = 25$, $7^2 = 49$ et $2 \times 5 \times 7 \times \frac12 = 35$. Ainsi :

$$ c^2 = 25 + 49 - 35 = 39 $$

Donc $c = \sqrt{39}$, soit environ $6{,}24$. Le troisième côté mesure donc approximativement $6{,}24$ unités.

D’où vient le nom d’Al-Kashi ?

Ghiyath al-Din al-Kashi est un mathématicien et astronome perse, actif à Samarcande au XVe siècle. Il est notamment célèbre pour la précision remarquable de ses calculs, en particulier de $\pi$.

Une relation géométrique équivalente figurait déjà dans les « Éléments » d’Euclide, au Livre II, mais sous une forme géométrique et sans notation trigonométrique. La formalisation trigonométrique moderne porte le nom d’Al-Kashi surtout en français ; dans de nombreux autres pays, on parle simplement de « loi des cosinus ».

Faites varier $a$ et $b$ avec les curseurs pour observer l’évolution de $c^2$ selon $\gamma$, et repérez le cas de Pythagore lorsque $\gamma = \pi/2$.

{ "boundingBox": [ -0.3, 170, 3.5, -15 ], "axis": true, "sliders": [ { "name": "a", "min": 1, "max": 8, "value": 5 }, { "name": "b", "min": 1, "max": 8, "value": 7 } ], "functions": [ { "expression": "a^2 + b^2 - 2 a b cos(x)", "label": "c²(γ)", "range": [ 0, 3.1416 ], "color": "#2563eb" } ], "lines": [ { "from": [ 1.5708, -15 ], "to": [ 1.5708, 170 ], "dash": "dashed", "color": "#dc2626" } ], "labels": [ { "x": 1.7, "y": 155, "text": "γ = π/2 : Pythagore" } ] }

Énoncé

c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q164321