théorème d'Al-Kashi

Théorème

théorème de géométrie couramment utilisé en trigonométrie

Son histoire

Bien avant al-Kashi, Euclide étudie les liens entre les côtés d’un triangle dans les Éléments. Les propositions 12 et 13 du livre II raisonnent sur des surfaces de carrés et de rectangles.

Vers 1250, le Persan Nasir al-Din al-Tusi explique comment trouver la longueur d’un côté à partir d’autres mesures. Sa méthode passe par un découpage en triangles rectangles, où l’on peut employer le théorème de Pythagore.

En 1420, le prince Ulugh Beg invite Ghiyath al-Kashi à Samarcande. Ce savant, né vers 1380 à Kashan, en Iran, y enseigne et participe à la conception du grand observatoire. Dans ses lettres à son père, il juge sévèrement presque tous les érudits rencontrés sur place. Seuls Ulugh Beg et Qadi-zadeh Roumi trouvent grâce à ses yeux.

Il obtient en 1424 une valeur de pi d’une précision jamais atteinte. Dans La Clé de l’arithmétique, achevée en 1427, il condense la méthode d’al-Tusi en une recette écrite en toutes lettres. Cette règle sert à mesurer des distances à l’aide de triangles.

En Occident, François Viète popularise la propriété, qu’il a vraisemblablement retrouvée de son côté. Au début du XIXe siècle, une écriture nouvelle lui donne sa forme actuelle, appelée « loi des cosinus » dans de nombreuses langues. Les manuels scolaires français adoptent le nom « théorème d’Al-Kashi » dans les années 1990.

Sources : M. Launay, Le grand roman des maths (2016) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; Wikipédia, articles « Loi des cosinus », « Law of cosines » et « Al-Kashi ».

Énoncé

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$$

Pour comprendre

Énoncé du théorème

Dans un triangle quelconque, notons $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés, et $\gamma$ l’angle opposé au côté $c$, c’est-à-dire l’angle compris entre $a$ et $b$. Le théorème d’Al-Kashi établit alors que :

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma $$

Il permet de calculer un côté lorsqu’on connaît les deux autres côtés et l’angle qu’ils forment. Déplacez les sommets du triangle pour voir comment la longueur $c$ varie avec l’angle $\gamma$.

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Démonstration originale d’Euclide (Livre II, Propositions 12 et 13)

Euclide distingue deux cas, selon que l’angle est obtus ou aigu. Il les traite séparément, en ajoutant un même carré de part et d’autre, puis en appliquant deux fois le théorème de Pythagore (Éléments I.47).

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Dans le triangle ABC, l’angle BAC est obtus. On abaisse BD depuis B, perpendiculaire au prolongement de CA. Le point D tombe hors du triangle, au-delà de A.
Le segment CD est coupé en A. Donc le carré sur CD égale les carrés sur CA et AD, plus deux fois le rectangle contenu par CA, AD (Éléments II.4). Ce rectangle vaut le produit $CA \cdot AD$.
On ajoute de part et d’autre le carré sur DB.
Le carré sur CB égale les carrés sur CD et DB, car l’angle en D est droit (Éléments I.47).
Le carré sur AB égale les carrés sur AD et DB, car l’angle en D est droit (Éléments I.47).
Il vient que le carré sur CB égale les carrés sur CA et AB, plus deux fois le rectangle CA, AD : le carré sur BC dépasse donc les carrés sur BA et AC de cette quantité.

Le second cas, celui de l’angle aigu, se traite de la même manière, dans une autre figure où D est cette fois le pied de la hauteur issue de A sur BC, à l’intérieur du triangle.

Dans le triangle ABC, l’angle en B est aigu. On abaisse AD depuis A, perpendiculaire à BC.
Le segment CB est coupé en D. Les carrés sur CB et BD égalent deux fois le rectangle CB, BD plus le carré sur DC (Éléments II.7).
On ajoute de part et d’autre le carré sur DA.
Le carré sur AB égale les carrés sur BD et DA, car l’angle en D est droit (Éléments I.47).
Le carré sur AC égale les carrés sur AD et DC.
Il vient que les carrés sur CB et BA égalent le carré sur AC plus deux fois le rectangle CB, BD : le carré sur AC est donc moindre que les carrés sur CB et BA de cette même quantité.

En langage moderne, II.4 et II.7 sont les développements de $(x+y)^2$ et de $(x-y)^2$. Dans le premier cas, $AD = AB\cos(180^\circ - \hat A)$, d’où $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \cdot AC \cos \hat A$ ; les deux cas d’Euclide n’en font qu’un dès qu’on introduit le cosinus.

Source : Euclide, Éléments, livre II, propositions 12 et 13, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath (1908).

Un prolongement de Pythagore

Le théorème de Pythagore s’applique seulement aux triangles rectangles. Al-Kashi le généralise à tous les triangles grâce au terme $-2ab\cos\gamma$.

Si $\gamma = 90°$, alors $\cos 90° = 0$. Ce terme disparaît et la formule devient :

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

On retrouve exactement le théorème de Pythagore : $c$ est alors l’hypoténuse. Selon que l’angle $\gamma$ est aigu ou obtus, le cosinus est positif ou négatif, ce qui rend $c$ respectivement plus court ou plus long que dans le cas rectangle.

Exemple de calcul

Prenons $a = 5$, $b = 7$ et $\gamma = 60°$. Comme $\cos 60° = \frac12$, on remplace chaque donnée dans la formule :

$$ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac12 $$

Calculons pas à pas : $5^2 = 25$, $7^2 = 49$ et $2 \times 5 \times 7 \times \frac12 = 35$. Ainsi :

$$ c^2 = 25 + 49 - 35 = 39 $$

Donc $c = \sqrt{39}$, soit environ $6{,}24$. Le troisième côté mesure donc approximativement $6{,}24$ unités.

D’où vient le nom d’Al-Kashi ?

Ghiyath al-Din al-Kashi est un mathématicien et astronome perse, actif à Samarcande au XVe siècle. Il est notamment célèbre pour la précision remarquable de ses calculs, en particulier de $\pi$.

Une relation géométrique équivalente figurait déjà dans les « Éléments » d’Euclide, au Livre II, mais sous une forme géométrique et sans notation trigonométrique. La formalisation trigonométrique moderne porte le nom d’Al-Kashi surtout en français ; dans de nombreux autres pays, on parle simplement de « loi des cosinus ».

Faites varier $a$ et $b$ avec les curseurs pour observer l’évolution de $c^2$ selon $\gamma$, et repérez le cas de Pythagore lorsque $\gamma = \pi/2$.

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Conditions d'application

La formule vaut pour tout triangle du plan, à condition que $c$ soit le côté opposé à l'angle $C$.
Sur une sphère, elle change de forme : la loi des cosinus sphérique s'écrit $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$, et la version plane ne s'applique pas à un grand triangle tracé sur le globe.

Cas d’usage

Arpentage et navigation : résoudre un triangle quelconque à partir de deux côtés et de l'angle qu'ils forment est l'outil de base de l'arpenteur pour les distances inaccessibles et du marin pour faire le point.
Physique : la relation sert à additionner deux grandeurs vectorielles qui ne sont pas perpendiculaires, comme deux forces ou deux champs, et figure à ce titre dans les formulaires de mécanique et d'électromagnétisme.
Aire d'un triangle : combiné à la formule $\tfrac12 ab\sin C$, le théorème permet de retrouver la formule de Héron, qui donne l'aire à partir des trois côtés seulement.
Trigonométrie : il permet de retrouver la formule du cosinus d'une somme de deux angles, d'où se déduisent la plupart des autres formules.

Liens

porte le nom de: Al-Kachi

Sources

Wikidata CC0-1.0

wikidata Q164321