Histoire des mathématiques Théorème
théorème d'Euclide sur les nombres premiers
Théorèmethéorème d'arithmétique
Son histoire
Vers 300 avant notre ère, Euclide rédige à Alexandrie les Éléments. Son raisonnement sur les nombres premiers suit la conception d'Aristote : on peut toujours en trouver davantage, sans parler d'infini. Sa démonstration ne porte que sur trois d'entre eux.
Les sources ne s'accordent pas : preuve directe, ou raisonnement qui suppose d'abord le contraire de ce qu'il veut établir. Cette démonstration reste dans les manuels et compte parmi les plus admirées.
En 1737, l'Académie de Saint-Pétersbourg publie une autre approche, celle de Leonhard Euler. Cette fois, il s'appuie sur des sommes infinies. En 1896, Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin établissent, chacun de son côté, comment ces nombres se répartissent.
En 1955, Hillel Furstenberg publie à son tour une preuve dans l'American Mathematical Monthly. Il suit encore son premier cycle d'études à l'université Yeshiva.
En 1963, Albert Mullin pose une question sur une liste fabriquée à partir du procédé antique. Il demande si tous les nombres premiers finissent par y figurer. Le problème reste ouvert, et le plus petit nombre premier dont on ignore s'il y figure est 41. Quant au résultat d'Euclide, on en compte au moins 200 démonstrations, dont une de Paul Erdős et une de Junho Peter Whang en 2010.
Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; Wikipédia, articles « Théorème d'Euclide sur les nombres premiers », « Euclid's theorem » et « Euclid–Mullin sequence ».
Énoncé
Pour comprendre
Démonstration originale d’Euclide (Livre IX, Proposition 20)
Euclide ne parle pas d’infini : il montre qu’il existe toujours plus de nombres premiers que n’importe quelle quantité donnée à l’avance. Soient A, B, C trois nombres premiers quelconques.
- On prend DE, le plus petit nombre mesuré par A, B, C, c’est-à-dire leur plus petit commun multiple. Comme A, B, C sont premiers et distincts, ce plus petit commun multiple est ici égal à leur produit ; c’est ce produit que retiennent en général les manuels modernes.
- On ajoute l’unité DF à DE, ce qui donne EF.
- EF est soit premier, soit non premier.
- Si EF est premier, alors A, B, C, EF forment un ensemble de nombres premiers plus nombreux que A, B, C.
- Si EF n’est pas premier, il est mesuré par un nombre premier G (Éléments VII.31).
- G ne peut être égal à aucun des nombres A, B, C : si c’était le cas, G mesurerait DE, et comme G mesure aussi EF, G mesurerait la différence entre EF et DE, c’est-à-dire l’unité DF. Or aucun nombre ne mesure l’unité. C’est absurde.
- G est donc un nombre premier distinct de A, B, C. Ainsi A, B, C, G forment un ensemble de nombres premiers plus nombreux que A, B, C.
Dans les deux cas, on a trouvé plus de nombres premiers que la quantité donnée. L’argument ne dépend pas du nombre trois : il vaut pour toute liste finie de nombres premiers.
En langage moderne, on pose \( N = \operatorname{ppcm}(A, B, C) + 1 \). Avec 2, 3, 5, on obtient 31, qui est premier. Avec 2, 7, on obtient 15 = 3 × 5, qui n’est pas premier mais est divisible par des nombres premiers, 3 et 5, absents de la liste de départ.
Source : Euclide, Éléments, livre IX, proposition 20, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath (1908).
Cas d’usage
- Cryptographie : le chiffrement RSA consomme des nombres premiers toujours plus grands ; le théorème garantit qu'il en existe aussi loin qu'on aille.
- Raisonnement : la preuve, qui suppose une liste finie de nombres premiers et forme leur produit augmenté de 1, est l'un des plus anciens et des plus enseignés des raisonnements par l'absurde.
- Nombres d'Euclide : le produit des premiers nombres premiers augmenté de 1 n'est pas toujours premier ; le sixième, \(30\,031 = 59 \times 509\), montre que la preuve fournit un facteur premier nouveau, pas forcément un nombre premier.
- Premiers d'une forme donnée : la même méthode, adaptée, montre qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\), cas élémentaire du théorème de Dirichlet.
Sources
- Wikidata CC0-1.0