Histoire des mathématiques Théorème

théorème de factorisation de Weierstrass

Théorème

théorème d'analyse complexe selon lequel les fonctions entières peuvent être factorisées selon leurs zéros

Son histoire

En 1735, Euler résout le problème de Bâle, la somme des inverses des carrés, grâce à une multiplication sans fin. Il n’a pas justifié sa méthode, mais l’accord du résultat avec les calculs numériques lui donne confiance.

Pendant quinze ans, Karl Weierstrass enseigne dans le secondaire. En 1843, il publie un premier travail dans le bulletin annuel de son établissement, sans attirer l’attention. Un article dans le Journal de Crelle lui vaut ensuite un doctorat honorifique, puis un poste à Berlin. Son théorème de 1876 donne enfin un cadre rigoureux à l’intuition d’Euler.

À la fin de sa vie, affaibli par une attaque, il dicte ses cours assis pendant qu’un étudiant écrit au tableau. Il passe ses trois dernières années en fauteuil roulant. À la mort de Sofia Kovalevskaïa, avec qui il avait longtemps correspondu, il brûle toutes ses lettres.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Une histoire des mathématiques et des mathématiciens du XVIIe au XXe siècle ; Wikipédia, articles « Théorème de factorisation de Weierstrass », « Weierstraßscher Produktsatz », « Problème de Bâle », « Basel problem », « Mittag-Leffler's theorem » et « Karl Weierstrass ».

Énoncé

$$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • La fonction \(f\) doit être entière, c'est-à-dire dérivable en tout point du plan complexe, et non identiquement nulle ; le facteur \(z^\lambda\) prend en charge un éventuel zéro en 0, et les \(a_n\) sont les autres zéros.
  • Les exposants \(p_n\) doivent être choisis assez grands pour que le produit converge ; sans ces facteurs exponentiels correcteurs, le produit des seuls \((1-z/a_n)\) diverge en général.
  • La factorisation n'est pas unique : la fonction \(h\) dépend du choix des \(p_n\), et n'est fixée qu'à un multiple de \(2i\pi\) près.

Cas d’usage

Le théorème porte sur les fonctions entières, c'est-à-dire dérivables en tout point du plan complexe : un peu comme des polynômes, mais qui peuvent avoir une infinité de zéros.

  • Développement du sinus en produit infini : la fonction sinus s'écrit comme un produit portant sur tous ses zéros entiers, \(\sin(\pi z) = \pi z \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)\), l'exemple type de ce que le théorème garantit pour toute fonction entière.
  • Fonction Gamma : avant le théorème général, Gauss avait déjà écrit l'inverse de la fonction Gamma, qui prolonge la factorielle aux nombres non entiers, comme un produit infini faisant apparaître ses zéros ; ce cas particulier a servi de modèle à l'énoncé de Weierstrass.
  • Construire une fonction aux zéros imposés : en sens inverse, le théorème permet de fabriquer une fonction dérivable au sens complexe qui s'annule exactement aux points choisis à l'avance, avec les multiplicités voulues.
  • Fonctions à pôles comme quotients : il en découle que toute fonction qui ne devient infinie qu'en des points isolés du plan complexe s'écrit comme le quotient de deux fonctions entières, ce qui ouvre la voie au théorème de Mittag-Leffler.

Liens

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Sources