théorème de flux-divergence

Conditions d'application

• Le champ \(\boldsymbol F\) doit être à dérivées continues sur tout le volume \(V\), et la surface qui le borde fermée et orientée vers l'extérieur.
• Sans cette régularité, le théorème ne s'applique pas : le champ d'une charge ponctuelle n'est pas défini à l'endroit de la charge ; si ce point est dans le volume, la divergence est nulle partout ailleurs, et pourtant le flux à travers la surface ne l'est pas.

Cas d'usage

Ce théorème, souvent appelé théorème d'Ostrogradski ou théorème de la divergence, sert surtout à transformer une loi physique écrite sur un volume en une loi valable en chaque point.

• Électrostatique : le flux du champ électrique à travers une surface fermée, transformé en intégrale de sa divergence (qui mesure les sources d'un champ en chaque point) sur le volume enfermé, donne la forme locale de la loi de Gauss, \(\operatorname{div} \boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0\), première équation de Maxwell.
• Conservation de la charge électrique : appliqué à l'équation qui relie la densité de courant à la variation de la charge, le théorème montre que la charge qui disparaît d'un volume est exactement celle qui sort à travers sa surface.
• Bilan d'énergie électromagnétique : la puissance rayonnée hors d'un volume s'obtient en convertissant l'intégrale de la divergence du vecteur de Poynting, qui décrit le transport d'énergie par le champ, en flux sortant à travers la surface qui l'entoure.
• Mécanique des fluides : l'équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse d'un fluide en mouvement, s'obtient par le même passage du volume à la surface.
• Calculer un flux sans paramétrer la surface : lorsque la divergence du champ est simple, par exemple constante, le flux sortant d'une sphère se ramène à une intégrale de volume immédiate.