Histoire des mathématiques Théorème

théorème de la base de Hilbert

Théorème

théorème

Son histoire

Paul Gordan est professeur à Erlangen. Par de lourds calculs, il montre que, dans un cas particulier, un nombre fini de formules de base suffit à produire toutes les autres. Les géomètres allemands tentent pendant une vingtaine d’années d’aller plus loin, mais la complexité des opérations les arrête.

David Hilbert prend une autre voie. Sa preuve établit, dans tous les cas, l’existence des éléments cherchés, sans donner aucun moyen de les calculer. Pour cela, il montre que supposer le contraire conduit à une contradiction.

Hilbert envoie son article aux Mathematische Annalen, où Felix Klein veut le publier sans modification, malgré les critiques de son ami Gordan. On raconte que ce dernier a déclaré : « Ce ne sont pas des mathématiques, c’est de la théologie ! » L’opposition entre Gordan et Hilbert est elle-même discutée, car Gordan aurait aussi encouragé Hilbert et publié une version simplifiée de sa preuve. Hilbert écrit ensuite un second article. Klein juge que la revue n’a jamais publié de travail aussi important sur l’algèbre, le calcul à l’aide de lettres.

En 1907, Emmy Noether soutient sa thèse sous la direction de Gordan, avant d’adopter les méthodes de Hilbert. Au XXe siècle, prouver que quelque chose existe sans le construire devient une démarche qui marque l’ensemble des mathématiques.

Sources : N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Une histoire des mathématiques et des mathématiciens du XVIIe au XXe siècle ; Société mathématique de France, L'explosion des mathématiques (2002) ; Les grands mathématiciens modernes (Tangente) ; Wikipédia, articles « Théorème de la base de Hilbert », « Hilbert's basis theorem », « David Hilbert » et « Paul Gordan ».

Énoncé

$$A \text{ noethérien} \Rightarrow A[X] \text{ noethérien}$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • L'anneau \(A\) doit être commutatif et noethérien ; par récurrence, la conclusion s'étend alors à un nombre fini d'indéterminées, \(A[X_1, \dots, X_n]\).
  • Sans l'hypothèse de départ, rien ne suit : l'anneau des suites réelles contient une chaîne infinie strictement croissante d'idéaux, et n'est pas noethérien.
  • Avec une infinité d'indéterminées, la conclusion tombe : dans \(\mathbb C[X_1, X_2, \dots]\), l'idéal engendré par toutes les \(X_i\) ne l'est par aucun nombre fini d'entre elles.

Cas d’usage

  • Géométrie algébrique : un ensemble de points défini par des équations polynomiales, aussi compliqué soit-il, se décrit toujours par un nombre fini d'équations, car les polynômes qui s'annulent sur lui sont engendrés par un nombre fini d'entre eux.
  • Théorie des invariants : Hilbert s'en est servi pour montrer que les polynômes invariants sous l'action d'un groupe de transformations sont engendrés par un nombre fini d'entre eux, ce qui a tranché le long programme de calculs explicites mené par Gordan.
  • Exemple de référence : l'anneau des polynômes à coefficients entiers n'est pas principal, certains de ses idéaux demandant plusieurs générateurs, mais il reste noethérien, c'est-à-dire que tout idéal (ensemble stable par addition et par multiplication par les éléments de l'anneau) y est engendré par un nombre fini d'éléments.
  • Calcul formel : la version constructive du théorème garantit qu'on peut effectivement décider et résoudre des systèmes d'équations linéaires à coefficients polynomiaux.

Liens

porte le nom de

Sources