Histoire des mathématiques Théorème

théorème de la médiane

Théorème

relation entre le carré de la médiane et les carrés des côtés d'un triangle

Son histoire

Le théorème de la médiane porte aussi le nom d’Apollonius de Perge, un savant grec installé à Alexandrie. Pourtant, il ne figure dans aucun de ses textes conservés. On le lit pour la première fois dans la Collection de Pappus d’Alexandrie, vers 340 de notre ère, plus de cinq siècles après Apollonius.

Les Lieux plans, un ouvrage perdu d’Apollonius, le contenaient peut-être. Robert Simson l’inclut dans sa reconstitution de ce traité, publiée en 1749.

« Médiane » vient du latin medianus, « qui est au milieu ». Au XVe siècle, les médecins emploient ce mot pour une veine. Tombé en désuétude, il revient en géométrie vers 1870, quand l’enseignement réclame des noms pour des notions simples. Une association de professeurs crée « médiatrice » en 1923.

En allemand, « Satz von Apollonios » désigne un autre résultat. Il concerne une ellipse, une courbe étudiée par le Grec dans son traité des Coniques.

Sources : Histoire et légendes mathématiques (Ellipses) ; B. Hauchecorne, Les mots et les maths ; Wikipédia, articles « Théorème de la médiane », « Apollonius's theorem » et « Apollonios de Perga ».

Énoncé

$$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • \(D\) doit être le milieu du côté \([BC]\), si bien que \(BD = DC\) ; c'est ce qui fait de \([AD]\) une médiane.
  • La relation suppose la distance usuelle, celle qui découle d'un produit scalaire ; avec la distance dite du taxi, somme des écarts horizontal et vertical, elle tombe : pour \(x = (1,0)\) et \(y = (0,1)\), la somme des carrés des diagonales vaut 8, alors que le double de la somme des carrés des côtés vaut 4.

Cas d’usage

  • Topographie : connaissant les distances d'un point à deux repères et la distance entre ces repères, on obtient sans nouvelle mesure la distance de ce point au milieu des deux repères.
  • Géométrie : le théorème équivaut à dire que, dans un parallélogramme, la somme des carrés des quatre côtés égale la somme des carrés des deux diagonales ; il se démontre directement à partir du théorème de Pythagore.
  • Calculer les distances du centre de gravité d'un triangle à ses trois sommets, étape classique pour établir que ce point est aligné avec le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre, sur la droite d'Euler.
  • Analyse : il sert à montrer qu'un ensemble fermé et borné est contenu dans une unique plus petite boule ; si deux boules de rayon minimal le contenaient, la boule centrée au milieu de leurs centres serait, d'après le théorème, strictement plus petite, ce qui est absurde.

Liens

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Sources