Histoire des mathématiques Théorème

théorème de la moyenne géométrique

Théorème

théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, la hauteur est égale à la moyenne géométrique des deux segments de droite créés par la hauteur sur l'hypoténuse

Son histoire

Euclide explique, dans la proposition 14 du livre II des Éléments, comment transformer un rectangle en carré de même aire. Pour justifier son tracé, il emploie une preuve qui ne fait pas appel au théorème de la moyenne géométrique.

Le Livre des lemmes rassemble des résultats qu’Archimède a sans doute trouvés. Ce recueil, conservé seulement en latin, se sert du théorème pour calculer l’aire de l’arbelos. Cette figure, bordée par trois demi-cercles, doit son nom au couteau du cordonnier.

Vers la fin du Ier siècle de notre ère, Nicomaque de Gérase présente une théorie héritée des pythagoriciens. Elle porte sur des groupes de trois nombres liés par des rapports particuliers.

En français, « moyenne proportionnelle » se rencontre chez Ozanam en 1691. Émile Fourrey décrit un moyen mécanique de la trouver : on la lit sur les lignes graduées d’un compas de proportion, ouvert à l’écartement voulu.

Sources : A. Houlou-Garcia, Mathematikos (2019) ; J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; B. Hauchecorne, Les mots et les maths ; É. Fourrey, Curiosités géométriques ; Wikipédia, articles « Théorème de la moyenne géométrique », « Geometric mean theorem » et « Höhensatz ».

Énoncé

$$h=\sqrt{pq}$$

Pour comprendre

Démonstration originale d’Euclide (Livre VI, Proposition 8 et Proposition 13)

Euclide établit d’abord que la hauteur issue de l’angle droit découpe un triangle rectangle en deux triangles semblables à lui, puis il s’en sert pour construire une moyenne proportionnelle entre deux segments donnés.

  • Dans le triangle ABC, l’angle BAC est droit. On mène AD perpendiculaire à BC (Éléments VI.8).
  • L’angle BAC égale l’angle ADB, tous deux droits, et l’angle en B est commun aux triangles ABC et ABD ; donc l’angle restant ACB égale l’angle restant BAD (Éléments I.32).
  • Le triangle ABC est donc équiangle au triangle ABD, et leurs côtés sont proportionnels (Éléments VI.4) : le triangle ABC est semblable au triangle ABD.
  • On prouve de même que le triangle ABC est semblable au triangle ADC ; chacun des triangles ABD, ADC est donc semblable au triangle entier ABC.
  • Les triangles ABD et ADC sont aussi semblables entre eux, par le même raisonnement sur leurs angles (Éléments VI.4) : BD est à DA ce que AD est à DC.
  • Il suit, en corollaire, que dans un triangle rectangle, la perpendiculaire menée du sommet de l’angle droit à la base est moyenne proportionnelle entre les deux segments de la base.

Dans la proposition 8, l’angle droit est en A et la hauteur est AD. La proposition 13 utilise une autre figure, où l’angle droit est en D et la hauteur est DB : c’est elle que montre la figure.

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  • Soient donnés deux segments AB et BC. On les place bout à bout sur une même droite, et l’on décrit sur AC le demi-cercle ADC (Éléments VI.13).
  • On mène BD perpendiculaire à AC au point B, et l’on joint AD, DC.
  • L’angle ADC, inscrit dans un demi-cercle, est droit (Éléments III.31).
  • Dans le triangle rectangle ADC, DB est menée du sommet de l’angle droit perpendiculairement à la base ; donc DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB et BC (Éléments VI.8, corollaire).
  • La moyenne proportionnelle DB entre les deux segments donnés est ainsi construite.

En langage moderne, dire que BD est moyenne proportionnelle entre AB et BC signifie \(\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{BC}\), soit \(BD^2 = AB \cdot BC\), donc \(h = \sqrt{pq}\).

Source : Euclide, Éléments, livre VI, propositions 8 et 13, d’après la traduction anglaise de T. L. Heath (1908).

Conditions d'application

  • La formule suppose un triangle rectangle : \(h\) est la hauteur issue de l'angle droit, et \(p\), \(q\) les deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse, ce que l'écriture \(h = \sqrt{pq}\) ne dit pas.

Cas d’usage

Ce résultat, que les ouvrages français nomment plutôt théorème de la hauteur, dit que dans un triangle rectangle la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.

  • Transformer un rectangle en un carré de même aire, opération dite quadrature : le côté du carré est la moyenne géométrique des deux côtés du rectangle ; au XVIe siècle, Charles de Bovelles l'appliquait à des tables, un rectangle de côtés 9 et 4 devenant un carré de côté 6.
  • L'arbelos d'Archimède, figure formée de trois demi-cercles tangents : la perpendiculaire au diamètre menée depuis le point de contact est la moyenne géométrique des deux segments qu'elle sépare, ce qui permet de prouver que l'aire de l'arbelos égale celle du cercle construit sur cette perpendiculaire.

Liens

porte le nom de

Sources