Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Lagrange sur les groupes

Théorème

théorème de théorie des groupes

Son histoire

Lagrange n'a jamais énoncé ce théorème sous sa forme actuelle. Vers 1770, il rédige un mémoire de plus de 200 pages. Son travail cherche à comprendre pourquoi certaines équations se laissent résoudre. Il y montre que le nombre d'expressions différentes obtenues en échangeant des lettres divise toujours le nombre d'échanges possibles.

Vandermonde mène au même moment des recherches indépendantes sur ce sujet. Les deux mémoires se rejoignent sur une idée : chercher des expressions qui prennent le moins de valeurs possible quand on échange les solutions de l'équation.

En 1801, Gauss démontre un cas particulier portant sur les nombres entiers. Cauchy traite en 1844 toutes les façons de réordonner une collection d'objets. La preuve gagne encore en généralité avec Camille Jordan, en 1861.

Sources : J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; Wikipédia, articles « Théorème de Lagrange sur les groupes » et « Lagrange's theorem (group theory) ».

Énoncé

$$\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Le groupe \(G\) doit être fini, ce que la formule ne rappelle pas : c'est parce que \(G\) se découpe en paquets de même taille que \(H\) que son ordre est un multiple de celui de \(H\).
  • La réciproque est fausse : un diviseur de l'ordre de \(G\) n'est pas toujours l'ordre d'un sous-groupe ; le groupe \(A_4\), d'ordre 12, n'a aucun sous-groupe d'ordre 6.

Cas d’usage

  • Démontrer le petit théorème de Fermat : les restes de la division par \(n\) qui sont premiers avec \(n\) forment un groupe pour la multiplication ; le théorème impose que l'ordre de chacun divise la taille de ce groupe, d'où découlent directement le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.
  • Contraindre les diviseurs premiers d'un nombre : si le groupe des restes non nuls modulo un nombre premier \(p\) contient un élément d'ordre 8, alors 8 divise \(p-1\) ; on montre ainsi que les diviseurs premiers de certains nombres, comme \(a^4+b^4\), sont tous de la forme \(8k+1\).
  • Calculer dans un groupe fini : l'ordre de tout élément divise la taille du groupe, ce qui réduit fortement les valeurs à essayer dans la plupart des calculs sur les groupes finis.
  • Une limite importante : la réciproque est fausse ; un groupe peut avoir une taille divisible par un nombre sans posséder de sous-groupe de cette taille, comme le montre un groupe à douze éléments qui n'a aucun sous-groupe de six éléments.

Liens

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Sources