Histoire des mathématiques Théorème

théorème de Riemann-Roch

Théorème

résultat de géométrie algébrique

Son histoire

Le père de Gustav Roch est aide-cuisinier à la cour, sa mère femme de ménage. Né à Leipzig en 1839, le jeune homme s'intéresse d'abord à l'électricité et au magnétisme.

En 1857, Bernhard Riemann établit une partie du théorème. Celui-ci relie le nombre de trous d'une surface à un décompte de fonctions. Un professeur, Oscar Schlömilch, a repéré le talent de Roch et publie son premier article dans sa revue en 1859. Entré à l'université de Göttingen en 1861, le jeune homme suit notamment les cours de Riemann. L'élève complète le travail du maître dans un article de cinq pages, paru en 1865.

Devenu professeur à Halle, il obtient un congé pour aller se soigner au soleil. La tuberculose l'emporte à Venise en novembre 1866, à 26 ans. Riemann avait succombé au même mal quatre mois plus tôt.

Max Noether et Alexander von Brill donnent au théorème le nom des deux hommes dans un article de 1874. La démonstration d'origine reposait pourtant sur un outil contesté par Weierstrass. Richard Dedekind et Heinrich Weber donnent une preuve entièrement nouvelle en 1882. Plus tard, Hilbert justifie l'argument initial dans certains cas.

Dans les années 1950, Friedrich Hirzebruch étend le résultat aux dimensions supérieures. Alexander Grothendieck propose une autre version en 1957, dont Armand Borel et Jean-Pierre Serre publient les preuves en 1958.

Sources : Wikipédia, articles « Théorème de Riemann-Roch », « Riemann–Roch theorem » et « Gustav Roch ».

Énoncé

$$\dim\operatorname H^0(\Sigma,L)-\dim\operatorname H^1(\Sigma,L)=\deg(L)+1-g(\Sigma)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • \(\Sigma\) doit être une courbe projective sans singularité, autrement dit une surface de Riemann compacte, et \(L\) un fibré en droites, ce que la formule ne précise pas.
  • Sans le terme \(\dim H^1(\Sigma, L)\), on n'obtient que l'inégalité plus ancienne de Riemann, \(\dim H^0 \ge \deg L - g + 1\) ; c'est Roch qui a identifié le terme correctif.
  • La formule vaut pour les courbes ; pour une surface, elle change de forme et fait intervenir d'autres termes.

Cas d’usage

  • À l'origine, compter les fonctions indépendantes qu'on peut construire sur une surface de Riemann (une courbe complexe) avec des pôles imposés en des points donnés : Riemann en avait donné une première estimation, que Roch a précisée en 1864.
  • Déterminer la dimension d'une série linéaire, une famille de groupes de points sur une courbe, à partir de son degré et du genre de la courbe, un entier qui compte ses trous.
  • Calcul formel : le théorème fonde le calcul effectif des espaces de fonctions à pôles prescrits sur une courbe algébrique, sur lequel reposent des méthodes encore utilisées aujourd'hui.

Liens

porte le nom de

Sources