Histoire des mathématiques Théorème

théorème des deux carrés de Fermat

Théorème

Un nombre premier impair est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1

Son histoire

Des tablettes du début du IIe millénaire avant notre ère montrent déjà un intérêt pour les sommes de carrés. Diophante remarque notamment que 65 est somme de deux carrés de deux façons. Des historiens déduisent de ses exemples qu'il connaissait peut-être le théorème, sans jamais l'énoncer explicitement.

Le premier énoncé vient d'Albert Girard, en 1625, dans des annotations à une traduction de Diophante par Simon Stevin. Le 25 décembre 1640, Fermat l'énonce dans une lettre au père Mersenne. Tout nombre premier qui dépasse d'une unité un multiple de quatre est somme de deux carrés. Cette date lui vaut le surnom de « théorème de Fermat de Noël ». Pour Descartes, une partie du problème mérite seulement d'être confiée à son protégé Jean Gillot comme exercice.

Fermat ne publie aucune démonstration, mais revient sur la question pendant près de vingt ans. Il en parle à Pascal, puis aux Anglais Wallis et Brouncker en 1658, avant d'adresser un bilan à Huygens l'année suivante. L'esquisse laissée par le savant ne sera menée à bien par aucun de ses successeurs.

La première preuve connue arrive avec Euler, un siècle plus tard. Il l'annonce à Christian Goldbach dans deux lettres, en 1747 et en 1749. Les détails paraissent entre 1752 et 1755. André Weil parlera d'une « campagne de sept années ».

En 1990, Don Zagier publie une démonstration d'une seule phrase. Elle assure qu'une décomposition existe, sans indiquer comment la trouver. Le sujet inspire aussi un conte à Ian Stewart : trois fantômes viennent aider à résoudre le problème.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; A. Houlou-Garcia, Mathematikos (2019) ; Wikipédia, articles « Théorème des deux carrés de Fermat » et « Fermat's theorem on sums of two squares ».

Énoncé

$$\forall p\in\mathbb P\colon\left((\exists m,n\in\mathbb Z\colon m^2+n^2=p)\iff p\not\equiv3\pmod4\right)$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • Le théorème porte sur les nombres premiers : ceux de la forme \(4n+3\), comme 3, 7, 11, 19 ou 23, ne sont jamais somme de deux carrés, alors que 13 et 17 s'écrivent \(4+9\) et \(1+16\).
  • Pour un entier quelconque, il faut que chacun de ses facteurs premiers de la forme \(4k+3\) figure à une puissance paire : \(45 = 3^2 \times 5 = 36 + 9\) convient, mais \(21 = 3 \times 7\) n'est pas somme de deux carrés.

Cas d’usage

  • Reconnaître les nombres premiers qui sont somme de deux carrés : ce sont 2 et les nombres premiers qui laissent un reste 1 dans la division par 4, comme \(5=1^2+2^2\) ou \(13=2^2+3^2\), mais jamais 3, 7 ou 11.
  • Entiers de Gauss, les nombres de la forme \(a+ib\) avec \(i^2=-1\) : le théorème dit quels nombres premiers s'y décomposent (ceux de la forme \(4k+1\)) et lesquels y restent indécomposables (ceux de la forme \(4k+3\)).
  • Compter les façons d'écrire un entier comme somme de deux carrés en lisant ses facteurs premiers de la forme \(4k+1\) : 325 s'écrit ainsi de trois façons, dont \(325=18^2+1^2\).
  • Décomposer effectivement un grand nombre premier en somme de deux carrés, grâce à une racine carrée de −1 modulo ce nombre et à l'algorithme d'Euclide appliqué aux entiers de Gauss.
  • De façon récréative, chercher les entiers qui se décomposent de plusieurs manières, comme 65, hypoténuse entière de quatre triangles rectangles différents.

Liens

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Sources