Histoire des mathématiques Discipline

théorie de Lie

Discipline

étude des groupes de Lie, algèbres de Lie et équations différentielles

domaine
théorie des groupes

Pour comprendre

La théorie de Lie étudie les groupes de Lie, les algèbres de Lie et les équations différentielles, trois objets étroitement liés entre eux.

Ce qu'elle étudie

Les groupes de Lie associent les propriétés d'un groupe, un ensemble muni d'une opération, à celles d'un espace continu, ce qui permet d'y appliquer les outils du calcul infinitésimal. Les algèbres de Lie leur sont associées et en capturent la structure locale. Cette approche relie ainsi ces objets aux équations différentielles, dont l'étude bénéficie des méthodes développées pour les groupes et les algèbres de Lie.

Où elle se place

Elle appartient à la théorie des groupes, dont elle forme une branche tournée vers les structures continues plutôt que discrètes.

Cas d’usage

Composons des rotations du plan. La rotation d'angle \(\theta\) a pour matrice (un tableau de nombres) :

$$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

Les enchaîner ajoute les angles : elles forment un groupe, et l'angle varie sans saut. Pour \(\theta=0{,}01\), les coefficients de \(R(0{,}01)\) valent \(\cos0{,}01\approx0{,}99995\) sur la diagonale et \(\pm\sin0{,}01\approx\pm0{,}0099998\) ailleurs. C'est, à moins de \(0{,}00006\) par coefficient, \(I+0{,}01J\), avec \(I\) la matrice qui ne déplace rien et \(J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\). La dérivée, variation instantanée, de \(R\) en \(\theta=0\) est \(J\) : la rotation infinitésimale. L'algèbre de Lie rassemble ces objets.

Retrouvons une rotation à partir de \(J\). Or \(J^2=-I\), \(J^3=-J\), \(J^4=I\), et son exponentielle est la somme infinie :

$$\exp(\theta J)=I+\theta J$$
$${}+\theta^2J^2/2+\theta^3J^3/6+\cdots$$

Regroupons les termes en \(I\) et en \(J\) : leurs coefficients, \(1-\theta^2/2+\theta^4/24-\cdots\) et \(\theta-\theta^3/6+\theta^5/120-\cdots\), sont \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\). Donc \(\exp(\theta J)=R(\theta)\). Pour \(\theta=\pi/2\), elle vaut \(J\) : ce quart de tour envoie \((3,2)\) sur \((-2,3)\). Le mouvement \(x'=-y,\ y'=x\) (les primes sont les vitesses) donne depuis \((1,0)\) le point \((\cos t,\sin t)=R(t)(1,0)\) : la solution de l'équation est l'action du groupe.

Inversons l'ordre de deux rotations de \(0{,}1\), autour des axes \(x\) puis \(y\). Dans \(R_xR_y-R_yR_x\), les coefficients principaux valent environ \(\pm0{,}00997\), les autres moins de \(0{,}0005\). Ainsi \(R_xR_y\) vaut \(R_yR_x\) suivi d'une rotation autour de l'axe \(z\), d'angle \(0{,}01\), le produit des deux angles. Pour les rotations infinitésimales :

$$L_x=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$$
$$L_y=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$$
$$L_z=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Le crochet est la différence des produits : \(L_xL_y-L_yL_x=L_z\). De même, \(L_yL_z-L_zL_y=L_x\) et \(L_zL_x-L_xL_z=L_y\) : trois matrices et une règle, l'algèbre de Lie des rotations de l'espace tient là.

Sources