Histoire des mathématiques Concept

théorie de Yang-Mills

Concept

généralisation non commutative de l’électrodynamique

Son histoire

Le mot « jauge » vient d'une comparaison avec l'écartement des rails de chemin de fer. Il désigne le principe de Hermann Weyl, qui explique une force par une symétrie. Sa tentative d'unir la gravité aux phénomènes électriques et magnétiques échoue.

Wolfgang Pauli explore une voie semblable pour les forces nucléaires, puis renonce à publier. Pendant l'année 1953-1954, Chen Ning Yang partage un bureau à Brookhaven avec le jeune Robert Mills. Ce dernier contribue aux calculs et reconnaît que les idées essentielles viennent de son collègue.

À Cambridge, Ronald Shaw fait la même découverte en janvier 1954. Le mois suivant, Yang expose ses recherches à Princeton. Pauli l'interroge alors sur la masse de la particule prédite. L'article de Yang et Mills paraît en octobre, sans réponse satisfaisante à cette difficulté.

Shaw avait lui aussi choisi de ne rien publier, en accord avec son directeur Abdus Salam. Après cette parution, celui-ci encourage son étudiant à faire connaître sa contribution, mais se heurte à un refus. Le travail de Shaw ne forme qu'un chapitre de sa thèse de 1956.

En 1960, Goldstone, Nambu et Jona-Lasinio montrent comment des particules peuvent acquérir une masse. Steven Weinberg obtient une première application réussie en 1967. La théorie de Yang-Mills devient une base de la physique des particules. Il reste pourtant à lui donner des fondements mathématiques rigoureux. Landon Clay lui consacre en 2000 l'un des sept problèmes dotés chacun d'un million de dollars.

Sources : J. Iliopoulos, Aux origines de la masse ; L. Smolin, Rien ne va plus en physique ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Wikipédia, articles « Yang–Mills theory » et « Théorie de Yang-Mills ».

Énoncé

$$S = \int\mathrm d^dx\,\left(-\frac12\operatorname{Tr}(F^2)\right)=\int\mathrm d^dx\left(-\frac14F^{a\mu \nu} F_{\mu \nu}^a\right)$$

Cas d’usage

  • Unifier les interactions électromagnétique et faible : dans une théorie de jauge non commutative, où les transformations qui laissent la théorie inchangée ne commutent pas entre elles, le photon et un triplet de bosons de Yang-Mills décrivent ensemble ces deux forces.
  • Fonder le modèle standard de la physique des particules : la preuve apportée par Gerard 't Hooft en 1971 que les théories de Yang-Mills quantiques restent mathématiquement cohérentes, on dit renormalisables, a rendu possible sa construction.
  • Chromodynamique quantique : expliquer pourquoi la force qui lie les quarks s'affaiblit à courte distance, la liberté asymptotique, et pourquoi elle les enferme dans les particules qu'ils composent.
  • Relativité générale : les équations de Yang-Mills apparaissent quand on écrit la gravitation dans des dimensions supplémentaires à celles de l'espace-temps.
  • Mathématiques : l'existence d'une théorie de Yang-Mills quantique avec un saut de masse figure parmi les sept problèmes du prix du millénaire de l'institut Clay.

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Sources