Histoire des mathématiques Discipline

théorie des nœuds

Discipline

étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés

domaine
Topologie · théorie mathématique

Pour comprendre

La théorie des nœuds est l'étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés, c'est-à-dire de courbes fermées et entrelacées, considérées indépendamment de la matière qui les compose.

Ce qu'elle étudie

Elle s'intéresse à la manière dont ces courbes peuvent être nouées ou entrelacées, et cherche à distinguer les différentes façons de les nouer les unes des autres, sans jamais couper ni recoller la ficelle.

À quoi elle sert

Elle fournit des outils pour classer et comparer des figures nouées entre elles.

  • distinguer un nœud d'un autre malgré les déformations possibles
  • étudier l'entrelacement de plusieurs courbes fermées
  • servir de terrain de rencontre entre plusieurs branches des mathématiques

Où elle se place

Elle appartient à la théorie mathématique et se rattache à la topologie.

flowchart TD
  P0[théorie mathématique] --> D([théorie des nœuds])
  P0 --> S0[calcul stochastique]
  P0 --> S1[théorie combinatoire des groupes]

Cas d’usage

Examinons le dessin d'un nœud de trèfle et cherchons à réduire ses croisements. Son dessin le plus simple en possède trois. On peut déplacer la ficelle, mais on ne peut pas descendre sous ce nombre sans la couper. Le trèfle est le nœud le plus simple qui soit vraiment noué : un nœud dessiné avec un ou deux croisements se défait toujours.

Prouvons que le trèfle ne se défait pas en coloriant son dessin. On découpe le brin en arcs à chaque passage sous un autre brin. Il s'agit d'une découpe du dessin pour le coloriage ; la ficelle reste entière.

On dispose de trois couleurs. À chaque croisement, les trois arcs concernés doivent respecter l'une des règles suivantes :

  • Ils ont tous la même couleur.
  • Ils ont tous des couleurs différentes.

Il faut aussi utiliser au moins deux couleurs sur l'ensemble du dessin. Le trèfle possède trois arcs : on donne une couleur différente à chacun. À chaque croisement, on retrouve les trois couleurs. Le coloriage respecte donc la règle.

Un simple rond, appelé nœud trivial, ne possède qu'un arc. On ne peut lui donner qu'une couleur : il échoue à la condition qui en demande au moins deux. La possibilité de réaliser ce coloriage ne change pas quand on déforme la ficelle. Le trèfle ne peut donc pas devenir un rond.

Le nœud de huit, qui possède quatre croisements, n'admet pas non plus un tel coloriage. Cela ne prouve pas qu'il se défait : il faut d'autres outils pour le distinguer du rond.

Comptons enfin les nœuds premiers, ceux qui ne sont pas composés de nœuds plus simples. On les classe selon le plus petit nombre de croisements nécessaire pour les dessiner :

  • Trois croisements : un nœud.
  • Quatre croisements : un nœud.
  • Cinq croisements : deux nœuds.
  • Six croisements : trois nœuds.
  • Sept croisements : sept nœuds.

Des dessins différents peuvent représenter le même nœud : le catalogue compte les nœuds distincts, pas leurs dessins.

Liens

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Sources