Histoire des mathématiques Discipline

Topologie

Discipline

branche des mathématiques concernant les déformations spatiales par des transformations continues

domaine
Mathématiques

Pour comprendre

Une tasse que l'on étire doucement sans la déchirer peut prendre une forme très différente tout en conservant ce qui compte pour la topologie. Dans cette discipline, une tasse et un anneau sont pareils : ils ont un seul trou, malgré leur apparence éloignée.

Ce qu'elle étudie

La topologie étudie les propriétés des formes qui survivent aux déformations continues : étirer, tordre, sans déchirer ni recoller. Elle s'intéresse à la continuité, aux voisinages, à la connexité et aux trous, afin de reconnaître ce qui demeure lorsque la forme change.

Elle examine aussi des quantités qui ne changent pas sous certaines déformations. Pour les polyèdres convexes, les sommets, les arêtes et les faces donnent un exemple simple de cette stabilité.

$$S - A + F = 2$$

Pour tout polyèdre convexe, sommets moins arêtes plus faces vaut toujours deux : c'est un invariant, une quantité qui ne change pas quand on déforme.

À quoi elle sert

Elle sert à décrire la structure d'une forme ou d'un réseau au-delà de son aspect immédiat.

  • Classer les formes et les surfaces.
  • Étudier les nœuds, notamment pour l'ADN et les polymères.
  • Trouver la forme globale d'un nuage de points par l'analyse topologique de données.
  • Examiner les réseaux et leur connexité pour les pannes et le routage.

Comment elle s'organise

La topologie générale étudie continuité et voisinages. Les approches géométrique et différentielle s'intéressent aux surfaces, aux nœuds et aux variétés lisses, tandis que les invariants décrivent trous et connexité.

mindmap
  root((Topologie))
    Générale
      Continuité et voisinages
    Géométrique
      Surfaces
      Théorie des nœuds
    Différentielle
      Variétés lisses
    Invariants
      Trous et connexité

Nœud de trèfle

Cette figure montre la projection plane du nœud de trèfle, la courbe fermée nouée la plus simple. La topologie s'intéresse à ce qui distingue cette boucle nouée d'un simple cercle, indépendamment des longueurs et des angles. Vous pouvez zoomer pour suivre les croisements et mieux observer la structure du nœud.

{ "boundingBox": [ -3.4, 3.1, 3.4, -3.7 ], "axis": false, "functions": [ { "x": "sin(t)+2*sin(2*t)", "y": "cos(t)-2*cos(2*t)", "range": [ 0, 6.2832 ], "color": "#2563eb", "width": 3, "label": "nœud de trèfle" } ] }

Cas d’usage

Comparons des lettres en bâtons, tracées sans épaisseur. Un invariant est une propriété conservée quand on déforme sans couper ni coller. Comptons les trous et les morceaux obtenus en retirant un point.

Les lettres \(O,D\) ont un trou et restent d'un morceau après ce retrait. Les lettres \(P,A\) ont aussi un trou, mais un point d'attache peut les séparer en deux morceaux. La lettre \(B\) a deux trous. Les lettres \(C,I,L,S,U,Z\) n'ont pas de trou ; retirer un point intérieur donne deux morceaux : ce sont des segments déformés. Les lettres \(T,Y,H\) peuvent se couper en trois morceaux ; \(X\), en quatre.

Ces comptes ne suffisent pas toujours : \(H\) possède deux points qui coupent en trois morceaux, \(T\) un seul ; \(A\) possède deux points d'attache, \(P\) un seul. Au total, huit classes : \(O,D\) ; \(P\) ; \(A\) ; \(B\) ; \(C,I,L,S,U,Z\) ; \(T,Y\) ; \(H\) ; \(X\). On peut déformer \(C\) en \(S\), mais pas en \(T\) sans coller.

Collons les bouts d'une bande de papier. Sans torsion, l'anneau a deux bords. Avec un demi-tour, le haut rejoint le bas : le contour continue sur l'autre côté et se ferme après deux tours. Le ruban a un seul bord, deux fois plus long.

Coupons suivant la ligne médiane. L'anneau donne deux anneaux. Sur le ruban retourné, la hauteur \(1/2\) rejoint \(1-1/2=1/2\) : la coupe se referme et le ruban reste d'un seul morceau. Avec deux demi-tours au collage, on retrouve deux bords.

Posons le plan d'une pièce sur son sol et cherchons un point situé au-dessus du point qu'il représente. La pièce mesure \(10\) mètres sur \(8\). Le plan, au \(1/100\), a son coin en \((2;3)\). Le point \((x;y)\) est dessiné en \((2+x/100;3+y/100)\).

Un point fixe coïncide avec sa représentation :

$$x=2+x/100,\quad99x/100=2$$
$$x=200/99\approx2{,}0202$$

De même, \(y=300/99\approx3{,}0303\). Il appartient bien au plan, qui couvre \([2;2{,}1]\times[3;3{,}08]\).

Après un demi-tour, le dessin est en \((2-x/100;3-y/100)\). On obtient encore un point fixe :

$$x=200/101\approx1{,}9802$$
$$y=300/101\approx2{,}9703$$

Le théorème du point fixe en garantit un, même si le plan est froissé, pourvu qu'il reste entier et dans la pièce.

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Sources