Histoire des mathématiques Discipline

Topologie

Discipline

branche des mathématiques concernant les déformations spatiales par des transformations continues

domaine
Mathématiques

Pour comprendre

rédaction

Une tasse que l'on étire doucement sans la déchirer peut prendre une forme très différente tout en conservant ce qui compte pour la topologie. Dans cette discipline, une tasse et un anneau sont pareils : ils ont un seul trou, malgré leur apparence éloignée.

Ce qu'elle étudie

La topologie étudie les propriétés des formes qui survivent aux déformations continues : étirer, tordre, sans déchirer ni recoller. Elle s'intéresse à la continuité, aux voisinages, à la connexité et aux trous, afin de reconnaître ce qui demeure lorsque la forme change.

Elle examine aussi des quantités qui ne changent pas sous certaines déformations. Pour les polyèdres convexes, les sommets, les arêtes et les faces donnent un exemple simple de cette stabilité.

$$S - A + F = 2$$

Pour tout polyèdre convexe, sommets moins arêtes plus faces vaut toujours deux : c'est un invariant, une quantité qui ne change pas quand on déforme.

À quoi elle sert

Elle sert à décrire la structure d'une forme ou d'un réseau au-delà de son aspect immédiat.

  • Classer les formes et les surfaces.
  • Étudier les nœuds, notamment pour l'ADN et les polymères.
  • Trouver la forme globale d'un nuage de points par l'analyse topologique de données.
  • Examiner les réseaux et leur connexité pour les pannes et le routage.

Comment elle s'organise

La topologie générale étudie continuité et voisinages. Les approches géométrique et différentielle s'intéressent aux surfaces, aux nœuds et aux variétés lisses, tandis que les invariants décrivent trous et connexité.

mindmap
  root((Topologie))
    Générale
      Continuité et voisinages
    Géométrique
      Surfaces
      Théorie des nœuds
    Différentielle
      Variétés lisses
    Invariants
      Trous et connexité

Nœud de trèfle

Cette figure montre la projection plane du nœud de trèfle, la courbe fermée nouée la plus simple. La topologie s'intéresse à ce qui distingue cette boucle nouée d'un simple cercle, indépendamment des longueurs et des angles. Vous pouvez zoomer pour suivre les croisements et mieux observer la structure du nœud.

{ "boundingBox": [ -3.4, 3.1, 3.4, -3.7 ], "axis": false, "functions": [ { "x": "sin(t)+2*sin(2*t)", "y": "cos(t)-2*cos(2*t)", "range": [ 0, 6.2832 ], "color": "#2563eb", "width": 3, "label": "nœud de trèfle" } ] }

Liens

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Sources