transformation de Legendre

Concept

transformation involutive sur les fonctions convexes à valeurs réelles d'une variable réelle

Énoncé

$$f^*(x^*)=\sup_{x\in I}(x^*x-f(x))$$

La forme en $\sup$ a un sens pour toute fonction, avec une valeur parfois infinie ; la forme classique, construite à partir de la dérivée, exige une fonction strictement convexe, qui garantit un seul point où la pente vaut $x^*$.
En mécanique, passer du lagrangien à l'hamiltonien exige que la matrice des dérivées secondes du lagrangien par rapport aux vitesses soit définie positive ; sinon, les vitesses ne se déduisent pas des impulsions et le passage échoue.

Mécanique analytique : passer du lagrangien, qui décrit un système par ses positions et ses vitesses, à l'hamiltonien, qui le décrit par ses positions et ses impulsions : $H=\sum p\dot q - L$, où l'impulsion $p$ est la dérivée du lagrangien par rapport à la vitesse.
Relativité : la même transformation, appliquée au lagrangien d'une particule chargée rapide, donne son hamiltonien.
Thermodynamique : passer d'un potentiel à un autre selon les variables qu'on contrôle ; l'énergie libre s'obtient en remplaçant, dans l'énergie interne, l'entropie par la température, et l'enthalpie libre en échangeant de plus le volume contre la pression.
Physique statistique : l'entropie d'un système isolé et son énergie libre se déduisent l'une de l'autre par cette transformation.
Analyse convexe : pour une fonction convexe, dont le graphe se courbe toujours du même côté, la transformée repère pour chaque pente la plus haute droite de cette pente qui passe sous le graphe ; sa généralisation en dimension infinie s'appelle la fonction conjuguée.