transformée de Fourier

Concept

extension du développement en série de Fourier

Énoncé

$$\mathcal{F}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d}t$$

La fonction doit être intégrable, c'est-à-dire que l'intégrale de sa valeur absolue est finie ; sa transformée est alors bornée, continue et tend vers 0 à l'infini.
Cette propriété ne se transmet pas : la fonction qui vaut 1 sur un intervalle et 0 ailleurs est intégrable, mais sa transformée, un sinus cardinal, ne l'est pas.
La formule d'inversion, qui retrouve la fonction à partir de sa transformée, exige que les deux soient intégrables ; sinon, il faut passer au cadre des fonctions de carré intégrable.

Imagerie médicale : filtrer les images numériques et reconstruire les coupes d'un scanner à partir de ses projections, en radiologie comme en médecine nucléaire.
Électronique et traitement du signal : obtenir la fonction de transfert d'un filtre à partir de sa réponse à une impulsion, ou afficher le spectre d'un signal audio sur un analyseur de spectre.
Chimie analytique : convertir en spectre l'interférogramme d'un spectromètre infrarouge à transformée de Fourier, ou le signal enregistré en résonance magnétique nucléaire.
Optique des lasers : relier la durée d'une impulsion lumineuse à la largeur de son spectre, et calculer la propagation d'un faisceau ou la cohérence d'une source.
Mécanique quantique : passer de la fonction d'onde qui décrit la position d'une particule à celle qui décrit son impulsion.