Histoire des mathématiques Concept

transformée de Laplace

Concept

la transformation intégrale ∫₀^∞ d𝑠 𝑓(𝑡)exp(−𝑠𝑡)

Son histoire

La transformée porte le nom de Pierre-Simon de Laplace, mais certains de ses outils existaient avant ses travaux. Dès 1744, Leonhard Euler étudie des calculs de ce genre pour résoudre des équations. Lagrange en rencontre aussi dans ses recherches sur les probabilités.

En 1785, Laplace franchit une étape : il transforme l'équation entière, la résout sous cette autre forme, puis revient en arrière. La diffusion de la chaleur lui fournit une application en 1809. Il cherche à suivre une propagation sans limite, là où les séries de Fourier restent attachées à une région restreinte.

En 1821, Cauchy développe une manière de calculer avec cette transformation. Riemann s'en sert en 1859 dans un mémoire sur les nombres premiers et établit comment revenir au point de départ.

Oliver Heaviside, dont une scarlatine a abîmé l'audition, travaille sur le télégraphe. Son idée remplace des opérations compliquées par de simples calculs avec des lettres. Cette approche fonctionne, mais l'absence de démonstration provoque une querelle. À ses critiques, il demande s'il devrait renoncer à dîner faute de comprendre entièrement la digestion.

Thomas Bromwich apporte ensuite une justification rigoureuse et relie ce calcul à la méthode de Laplace. Après 1910, des ingénieurs électriciens l'adoptent pour étudier les changements dans les circuits. Un ouvrage de Vannevar Bush et Norbert Wiener propose en 1929 des tables pour simplifier les calculs. On consulte encore ce genre d'outils plutôt que d'employer directement la formule de retour.

Sources : N. Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques ; Wikipédia, articles « Laplace transform », « Transformation de Laplace », « Operational calculus » et « Oliver Heaviside ».

Énoncé

$$\left(\mathcal{L} f\right)(s) = \int\limits_0^{\infty} \mathrm{e}^{-s t} f(t) \mathrm{d}t$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • La fonction doit être nulle pour \(t < 0\), intégrable sur tout intervalle borné, et ne pas croître plus vite qu'une exponentielle ; l'intégrale ne converge alors que pour \(\operatorname{Re} s > s_0\), un demi-plan dont la limite s'appelle l'abscisse de sommabilité.

Cas d’usage

  • Électronique : un condensateur et une bobine deviennent des impédances, \(1/(Cp)\) et \(Lp\), ce qui permet d'appliquer aux circuits en régime transitoire les lois du courant continu, conditions initiales comprises.
  • Résoudre une équation différentielle par l'algèbre : la transformée change la dérivation en multiplication, l'équation devient une fraction rationnelle, et des tables redonnent la solution en fonction du temps.
  • Automatique : étudier la stabilité d'un système asservi, qui corrige lui-même son comportement, et son écart à la consigne, à partir des pôles de sa fonction de transfert.
  • Thermique : traiter un régime transitoire par analogie avec un circuit électrique, une capacité thermique recevant une impédance de Laplace, ou décrire la réponse d'un capteur de température.
  • Physique théorique : exprimer la façon dont un système répond à une sollicitation extérieure, sa susceptibilité, comme la transformée de Laplace de sa fonction de réponse.

Liens

porte le nom de

Sources