trigonométrie

Relier angles et longueurs

La trigonométrie décrit les relations entre les angles d’un triangle et les longueurs de ses côtés. Elle permet ainsi de calculer une distance inaccessible à partir de mesures plus faciles à obtenir. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; les deux autres côtés sont dits opposé ou adjacent selon l’angle choisi.

Pour un angle aigu \(\theta\), trois rapports fondamentaux sont utilisés :

• le sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle de l’hypoténuse ;
• le cosinus est le rapport entre la longueur du côté adjacent et celle de l’hypoténuse ;
• la tangente est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent.

Une relation essentielle et un calcul concret

Le sinus et le cosinus d’un même angle sont liés par l’identité fondamentale :

Cette égalité sert notamment à déterminer l’un de ces rapports lorsque l’autre est connu. Elle découle du théorème de Pythagore appliqué à un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure une unité.

Un observateur placé à 20 m du pied d’un bâtiment relève un angle d’élévation de 30° jusqu’au sommet. La hauteur recherchée est donc 20 fois la tangente de 30° ; puisque cette tangente vaut environ 0,5774, le calcul \(20 \times 0{,}5774 \approx 11{,}55\) donne, après arrondi, 11,5 m.

Au-delà du triangle rectangle

Dans un triangle quelconque, la loi des cosinus relie trois côtés à l’angle \(\theta\) compris entre les côtés de longueurs \(a\) et \(b\) :

Cette formule généralise le théorème de Pythagore : lorsque \(\theta\) vaut 90°, son cosinus est nul. La trigonométrie s’étend aussi aux cercles et aux phénomènes périodiques ; elle intervient aujourd’hui dans la navigation, l’astronomie, l’imagerie numérique et le traitement du signal.

Deux courbes décalées

Cette figure réunit les courbes du sinus et du cosinus, qui ont la même ondulation mais sont décalées d'un quart de période. Elle rend visible l'égalité \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\). Vous pouvez zoomer pour observer plus précisément la correspondance entre les deux courbes.