Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen

Penser l'espace autrement

Dans Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Bernhard Riemann interroge les hypothèses cachées derrière la géométrie euclidienne. Il propose de concevoir un espace comme une variété dont la mesure des longueurs dépend localement d'une forme métrique. La géométrie n'est alors plus fixée une fois pour toutes par les figures familières : ses propriétés peuvent varier selon la structure attribuée à l'espace.

Courbure et géométrie moderne

Riemann introduit l'idée que la courbure peut être décrite de manière intrinsèque, sans recourir à un espace extérieur dans lequel la variété serait plongée. Cette approche ouvre la voie à des géométries de dimensions quelconques et à l'étude des relations entre mesure, courbure et coordonnées. Le texte est bref, mais son effet est considérable : il a profondément transformé la géométrie différentielle et a fourni un cadre mathématique devenu central pour décrire des espaces non euclidiens.

Repères historiques

• publié en 1867