Histoire des mathématiques Concept

univers de Grothendieck

Concept

notion mathématique

Son histoire

Pour ses travaux de géométrie, Alexandre Grothendieck veut éviter des collections trop vastes pour qu'on puisse les manipuler librement. Il propose un cadre assez grand pour contenir toutes les mathématiques usuelles, qu'on appelle un univers.

L'exposé de référence, intitulé « Univers », paraît sous la signature de Nicolas Bourbaki en 1972. Il vient du séminaire du Bois Marie, nommé d'après un petit bois de Bures-sur-Yvette. Les notes de ces rencontres occupent douze volumes réputés difficiles à lire.

Pour que chaque ensemble appartienne à un univers, il faut ajouter une règle qu'on ne peut déduire des principes habituels. La théorie des ensembles ainsi complétée sert de base à Mizar et Metamath, des logiciels qui vérifient automatiquement des démonstrations.

Sources : Wikipédia, articles « Univers de Grothendieck », « Grothendieck universe », « Cardinal inaccessible », « Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie » et « Tarski–Grothendieck set theory ».

Énoncé

$$(x\in y\in U\implies x\in U)\land(\{x,y\}\subset U\implies\{x,y\}\in U)\land(x\in U\implies\mathcal P(x)\in U)\land\left((I\in U\land\{x_i\}_{i\in I}\subset U)\implies\bigcup_{i\in I}x_i\in U\right)$$

Cas d’usage

  • Fondements des mathématiques : ajouter à la théorie des ensembles usuelle l'axiome selon lequel tout ensemble appartient à un univers de Grothendieck revient à postuler l'existence de cardinaux inaccessibles, des tailles d'ensembles infinis qu'on ne peut atteindre à partir de tailles plus petites.
  • Théorie des catégories : manipuler de très grandes collections, comme la catégorie de tous les ensembles ou celle des faisceaux de la géométrie algébrique, sans tomber dans les paradoxes d'une théorie des ensembles naïve ; c'est la raison pour laquelle Grothendieck a introduit ces univers.

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Sources