Was sind und was sollen die Zahlen?

Définir les entiers naturels

Dans Was sind und was sollen die Zahlen?, Richard Dedekind cherche à fonder les nombres naturels sur une caractérisation logique plutôt que sur l'intuition du comptage. Il considère un ensemble muni d'une application injective et un élément initial, puis isole la plus petite partie stable par cette application. Les entiers apparaissent ainsi comme une structure engendrée par la répétition d'une opération de succession.

Une fondation structurelle

Le texte formule une approche axiomatique des nombres : ce qui importe n'est pas la nature matérielle des objets choisis, mais les relations qui les lient. Cette idée prépare la conception moderne selon laquelle deux systèmes ayant la même structure sont équivalents pour l'arithmétique. Dedekind y éclaire aussi le principe de récurrence, qui permet de prouver une propriété pour tous les entiers à partir d'un cas initial et d'une étape de passage. L'ouvrage a compté dans l'élaboration des fondements de l'arithmétique et de la logique mathématique.

Repères historiques

• publié en 1888