équations de Cauchy-Riemann

Conditions d'application

• Les équations sont nécessaires pour qu'une fonction soit dérivable au sens complexe en un point, mais pas suffisantes : il faut en plus que la fonction soit différentiable au sens réel, ce qui est acquis si ses dérivées partielles sont continues.
• Avec cette régularité sur tout un domaine, elles équivalent à la dérivabilité complexe partout, et entraînent que les parties réelle et imaginaire vérifient chacune \(\Delta u = 0\).

Cas d'usage

• Mécanique des fluides : dans un écoulement plan incompressible et sans tourbillon, le potentiel des vitesses et la fonction qui décrit les lignes de courant vérifient ces équations ; on les réunit en une seule fonction complexe, dont la dérivée donne directement la vitesse.
• Aérodynamique : la même propriété permet de calculer la force exercée par l'écoulement sur un obstacle par une intégrale sur son contour ; on en déduit qu'une aile ne porte que si l'air circule autour d'elle, et un changement de variable complexe adapte le calcul à des profils variés.
• Problèmes de potentiel : les parties réelle et imaginaire d'une fonction qui vérifie ces équations sont chacune solution de l'équation de Laplace, et leurs lignes de niveau forment deux réseaux de courbes perpendiculaires, comme les équipotentielles et les lignes de champ.
• Transformations conformes : ces équations caractérisent les transformations du plan qui conservent les angles et l'orientation, outil de base pour déformer une figure en une autre plus simple.