Histoire des mathématiques Concept

espace euclidien

Concept

espace préhilbertien réel de dimension finie

domaine
algèbre linéaire

Pour comprendre

En bref

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire. Ce produit scalaire permet d’y définir des distances, des angles et des volumes. L’espace \(R^3\), muni du produit scalaire usuel, est l’espace de la géométrie euclidienne ordinaire ; la notion étend à d’autres espaces les projections et les symétries orthogonales connues dans \(R^2\) et \(R^3\).

Repères

L’adjectif « euclidien » vient du nom d’Euclide et n’est attesté en français qu’au milieu du XVIIIe siècle. C’est avec la séparation des différents types de géométrie, et l’introduction du produit scalaire dans le cadre des espaces vectoriels, qu’on a donné ce nom à un tel espace. La définition axiomatique des espaces vectoriels réels est due à Peano, en 1888 ; la théorie des espaces euclidiens se construit ensuite.

Cas d’usage

  • Mécanique : l’espace affine euclidien de dimension trois sert de modèle mathématique de l’espace physique ambiant ; tout système mécanique s’y représente géométriquement.
  • Relativité restreinte : elle oblige à remplacer l’espace euclidien à trois dimensions par un espace à quatre dimensions, l’espace-temps de Minkowski.
  • Physique quantique : les théories quantiques se placent dans le cadre des espaces de Hilbert, qui généralisent les espaces euclidiens.
  • Apprentissage artificiel : décrire des pages web par les mots qui les composent conduit à les considérer comme des vecteurs d’un espace euclidien.
  • Physique statistique : Borel, en 1914, relie la loi des vitesses de Maxwell aux propriétés d’une sphère dans un espace euclidien de grande dimension.
  • Algèbre : la structure d’espace euclidien permet de représenter une forme linéaire par un vecteur unique.

Liens

porte le nom de

Dans le dictionnaire

Sources