espace vectoriel

En bref

Un espace vectoriel est un ensemble muni de deux opérations : l’addition et la multiplication par un scalaire, c’est-à-dire par un nombre. Ses propriétés s’inspirent de celles des vecteurs du plan. La notion s’applique à l’espace de dimension 3 qui nous entoure, et elle permet aussi d’imaginer des espaces qui échappent à notre perception.

Les deux opérations d’un espace vectoriel, à essayer : les curseurs a et b multiplient les vecteurs u et v, et le trait rouge est la somme des deux résultats.

Cas d'usage

• Physique quantique : un état physique est représenté par un vecteur d’un espace appelé espace des états.
• Polarisation de la lumière : un état de polarisation se décompose en plusieurs autres états, et deux états s’additionnent comme des vecteurs.
• Analyse des signaux : les signaux sont considérés comme des vecteurs d’un espace vectoriel à plusieurs dimensions.
• Optique : dans l’optique matricielle de Gauss, les rayons lumineux forment un espace vectoriel.
• Apprentissage automatique : dans les méthodes à noyaux, les données sont projetées dans un espace vectoriel dit de redescription.
• Systèmes linéaires homogènes : l’ensemble de leurs solutions forme un espace vectoriel.
• Géométrie affine : la théorie des espaces vectoriels la formalise ; l’ajout d’un produit scalaire permet ensuite de traiter les distances et les angles.

Repères

La structure d’espace vectoriel apparaît sous l’impulsion de Grassmann et de Cayley, dans la seconde moitié du XIXe siècle ; les travaux de Grassmann n’ont pas d’effet immédiat. En 1888, Peano donne la définition axiomatique des espaces vectoriels sur le corps des réels.