Histoire des mathématiques Concept

sous-espace vectoriel

Concept

partie d'un espace vectoriel stable par combinaisons linéaires

domaine
algèbre linéaire · espace vectoriel

Pour comprendre

En bref

Un sous-espace vectoriel est une partie non vide d’un espace vectoriel qui est elle-même un espace vectoriel, avec les mêmes opérations. Il est stable par combinaison linéaire : combiner deux de ses vecteurs ne fait pas sortir de cette partie.

Repères

Pour parvenir à la notion d’espace vectoriel, il fallait dégager le concept de sous-espace vectoriel et sa dimension : ce sont les vues géométriques de Grassmann qui y ont répondu. Le terme « sous-espace vectoriel » apparaît dans la première moitié du XXe siècle.

Cas d’usage

  • Équations différentielles : les solutions de l’équation \(y' = a(x)y\) forment un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions.
  • Équations linéaires homogènes : l’ensemble de leurs solutions est un sous-espace vectoriel, le noyau de l’application linéaire associée.
  • Théorie des codes : un code linéaire est, par définition, un sous-espace vectoriel.
  • Équations aux dérivées partielles : pour approcher la solution d’un problème posé dans un espace de Hilbert, on travaille dans un sous-espace vectoriel de dimension finie.
  • Analyse en composantes principales : de nouvelles variables, combinaisons linéaires des variables initiales, définissent un sous-espace de dimension \(k\) sur lequel la projection des observations conserve le plus de variance.
  • Apprentissage automatique : dans les méthodes à noyaux, les hypothèses qui minimisent un risque empirique régularisé se trouvent dans le sous-espace vectoriel engendré par des fonctions noyau dépendant des données d’apprentissage.
  • Algèbre : réduire un endomorphisme, c’est-à-dire une application linéaire d’un espace dans lui-même, revient à chercher des bases où son expression est plus simple, par exemple en cherchant des sous-espaces vectoriels stables de petite dimension.

Dans le dictionnaire

Sources