Histoire des mathématiques Concept

fonction zêta de Riemann

Concept

Fonction analytique complexe

Son histoire

Tout commence par une somme. En 1644, Pietro Mengoli demande quelle est la somme des inverses des carrés des nombres entiers. Jacques Bernoulli s'y attaque quarante ans plus tard, sans réussir davantage que Leibniz ou James Stirling. La question prend le nom de problème de Bâle. En 1731, Leonhard Euler, né à Bâle, en donne une valeur approchée à un millionième près.

Euler annonce sa valeur exacte en 1735 et devient aussitôt célèbre. Son raisonnement traite des suites infinies comme des objets plus simples, sans justification. La date de sa preuve rigoureuse reste incertaine entre 1741 et 1743 selon les articles. Dès 1737, il trouve aussi un lien avec les nombres premiers et une nouvelle preuve de leur infinité. En 1751, il juge pourtant leur ordre impénétrable pour l'esprit humain.

Bernhard Riemann s'intéresse d'abord aux fonctions de variable complexe. En 1859, il étend la fonction d'Euler à ces nombres et relie ses zéros à la répartition des nombres premiers. C'est son seul mémoire de théorie des nombres, avant sa mort en 1866 à quarante ans. Il y formule l'hypothèse de Riemann, qui place tous les zéros autres que ceux des entiers pairs négatifs sur une même ligne. Les démonstrations de ce mémoire, souvent incomplètes, sont reprises par Hadamard et von Mangoldt en 1893 et 1894, puis une petite erreur est réparée en 1905.

Le 13 juillet 1885, Stieltjes affirme avoir démontré l'hypothèse dans une note présentée par Charles Hermite. Mittag-Leffler lui demande des détails, mais Stieltjes maintient ses affirmations jusqu'au printemps 1887 sans les justifier. Jensen annonce aussi une preuve en 1899, sans suite. En 1896, Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin démontrent séparément le théorème des nombres premiers grâce à cette fonction. Hardy montre en 1914 qu'elle s'annule une infinité de fois sur la ligne prévue.

Hilbert avait inscrit l'hypothèse dans sa liste de 23 problèmes. On lui prête ce mot : réveillé après mille ans de sommeil, il demanderait d'abord si elle a été prouvée. En 2000, Landon Clay promet un million de dollars pour chacune de sept conjectures, dont celle-ci. Vérifiée pour le premier million de zéros, elle reste une conjecture. Apéry démontre en 1978 que la valeur au nombre 3 est irrationnelle, puis Rivoal établit en 2000 une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs.

Sources : H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Wikipédia, articles « Histoire de la fonction zêta de Riemann », « Fonction zêta de Riemann », « Problème de Bâle » et « Riemann zeta function ».

Énoncé

$$\zeta(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^z}, \operatorname{Re} z > 1$$

Pour comprendre

Le produit eulérien

En 1737, Euler publie une formule qui relie la fonction zêta aux nombres premiers. Lorsque la partie réelle de \(z\) dépasse 1 :

$$\zeta(z) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^z} = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1 - p^{-z}}$$

Pour la comprendre, on développe chaque facteur avec \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots\), ce qui donne \(1 + p^{-z} + p^{-2z} + \dots\). En multipliant tous ces développements, on obtient des termes de la forme \(1/n^z\), où \(n\) est un produit de puissances de nombres premiers. Comme la décomposition d'un entier en facteurs premiers est unique, chaque \(1/n^z\) apparaît exactement une fois. La somme sur tous les entiers et le produit sur les nombres premiers sont donc la même quantité. Pour \(z = 2\), cette identité relie le problème de Bâle aux nombres premiers.

Une conséquence directe : dans ce domaine, \(\zeta(z)\) ne s'annule jamais, car un produit convergent de facteurs non nuls n'est pas nul. Les zéros dont parle l'hypothèse de Riemann appartiennent au prolongement de \(\zeta\) à presque tout le plan complexe.

Conditions d'application

  • La série ne converge que si la partie réelle de \(z\) dépasse 1 ; en \(z = 1\), elle devient la série harmonique \(\sum 1/n\), qui diverge.
  • Ailleurs, \(\zeta\) désigne le prolongement de la fonction à tout le plan complexe privé du point 1, et non plus la somme de la série ; les zéros dont parle l'hypothèse de Riemann sont ceux de ce prolongement.

Cas d’usage

  • Physique statistique : la température à laquelle un gaz de particules identiques se condense dans un même état quantique, la condensation de Bose-Einstein, se calcule à partir de la valeur \(\zeta(3/2)\).
  • Rayonnement : la densité et l'énergie d'un gaz de photons s'expriment avec des valeurs particulières de la fonction, comme \(\zeta(3)\), d'où se déduit la loi qui relie l'énergie rayonnée par un corps à sa température.
  • Physique quantique : la répartition des zéros de la fonction ressemble de façon frappante à celle des niveaux d'énergie de certains systèmes quantiques complexes, sans que ce lien soit entièrement expliqué.
  • Nombres premiers : la position exacte des zéros de la fonction commande la répartition des nombres premiers ; c'est l'objet de l'hypothèse de Riemann, l'un des plus célèbres problèmes ouverts.

Liens

porte le nom de
comprend

Sources