Histoire des mathématiques Concept

série de Fourier

Concept

outil mathématique d'étude des fonctions périodiques

Son histoire

Dans les années 1750, d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli se disputent sur la manière de décrire le mouvement d'une corde. Ce dernier propose une combinaison de vibrations simples. Joseph Fourier naît en 1768 à Auxerre, dans une famille très pauvre. Il aurait été moine si la Révolution n'avait pas dissous les ordres religieux quelques jours avant ses vœux.

En 1798, il accompagne l'expédition d'Égypte, où il devient secrétaire perpétuel de l'Institut. À son retour, Bonaparte le nomme préfet de l'Isère, un poste qu'il occupe de 1802 à 1815. Il fait construire la route du col du Lautaret, entre Grenoble et Briançon. Jean-François Champollion devient son ami.

Dès 1805, il mène seul à Grenoble des expériences sur la propagation de la chaleur, avec un matériel rudimentaire. Pour décrire la température d'une barre de métal, il imagine une somme infinie d'ondes simples, appelées sinus. Présenté à l'Académie en 1807, son mémoire reste inédit. Lagrange et Poisson doutent de la solidité des preuves et de la capacité de ces calculs à décrire des phénomènes physiques. La version complétée, présentée en 1811 au Grand prix de mathématiques, reçoit encore des critiques sur la rigueur.

Fourier entre à l'Académie en 1817. L'astronome Friedrich Wilhelm Bessel développe les mêmes outils de son côté et publie en 1819, sans connaître le mémoire encore inédit. La Théorie analytique de la chaleur paraît enfin en 1822, l'année où son auteur devient secrétaire perpétuel de l'Académie. Pour lui, les mathématiques doivent servir l'utilité publique et expliquer la nature. Jacobi lui reproche cette vision et leur assigne un autre but : « l'honneur de l'esprit humain ».

En 1829, Dirichlet précise pour la première fois les conditions sous lesquelles ces sommes infinies donnent le résultat attendu. Un mémoire de Riemann, publié en 1867, renouvelle le calcul des aires sous les courbes. Il reconnaît à Fourier d'avoir été le premier à comprendre exactement ces sommes.

Sources : H. Lehning, Toutes les mathématiques du monde (2017) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; Wikipédia, articles « Série de Fourier », « Fourier series » et « Joseph Fourier ».

Énoncé

$$f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x))$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • L'égalité n'est vraie qu'aux points où \(f\) est continue, et pour une fonction périodique assez régulière, par exemple dérivable par morceaux ; en un point de saut, la série converge vers la moyenne des valeurs de part et d'autre du saut.
  • La continuité seule ne suffit pas : il existe une fonction continue et périodique dont la série de Fourier diverge en un point, contre-exemple publié par du Bois-Reymond en 1873.
  • Près d'un saut, les sommes partielles dépassent la valeur de la fonction d'environ 9 %, et cet écart, le phénomène de Gibbs, ne disparaît pas quand on ajoute des termes.

Cas d’usage

  • Électronique : un signal périodique non sinusoïdal, comme un courant en créneau, se décompose en une somme de sinusoïdes ; on calcule la réponse du circuit à chacune séparément, puis on additionne.
  • Son numérique : l'oreille n'entendant pas au-delà de 20 000 hertz, seules les composantes en dessous de cette fréquence comptent ; c'est ce qui fixe l'échantillonnage d'un CD audio à 44 100 hertz, un peu plus du double.
  • Analyse de signal : la décomposition donne le spectre d'un signal, la liste de ses fréquences et de leurs amplitudes, et un circuit sélectif peut n'en garder que la fréquence la plus basse, dite fondamentale.
  • Génie civil : une charge appliquée sur une poutre ou une plaque se remplace par sa décomposition en sinusoïdes, ce qui permet de résoudre l'équation de la flexion terme à terme, souvent en ne gardant que le premier.
  • Mécanique des machines : une force qui se répète à chaque tour d'un mécanisme se décompose de la même façon selon l'angle de rotation, pour étudier séparément chacune de ses composantes.

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Sources