Histoire des mathématiques Théorème

théorème d'Euler

Théorème

théorème d'arithmétique

Son histoire

Au XVIIIe siècle, Euler reprend les découvertes de Fermat sur les nombres et démontre plusieurs de ses résultats. Il élargit l'un de ces énoncés au début des années 1760. On l'appelle théorème d'Euler, ou d'Euler-Fermat.

Il crée pour cela une fonction qui compte les nombres entiers plus petits qu'un nombre donné et sans diviseur commun avec lui. Elle n'a d'abord ni nom ni symbole. En 1784, il la désigne par la lettre grecque pi. Gauss emploie ensuite phi dans son ouvrage de 1801.

Sylvester invente le mot « totient » en 1879, resté le nom anglais de cette fonction. Le chiffrement RSA s'appuie sur ce théorème pour les échanges confidentiels sur Internet.

Sources : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; Wikipédia, articles « Théorème d'Euler (arithmétique) », « Petit théorème de Fermat », « Indicatrice d'Euler » et « Euler's theorem ».

Énoncé

$$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$$

Pour comprendre

Conditions d'application

  • \(a\) et \(n\) doivent être premiers entre eux, avec \(n\ge2\), hypothèse que la formule ne rappelle pas. Sans elle, la congruence peut être fausse : pour \(n=4\) et \(a=2\), \(\varphi(4)=2\) et \(2^2=4\) laisse un reste 0, et non 1, dans la division par 4.
  • \(\varphi(n)\) compte les entiers de 1 à \(n\) premiers avec \(n\) ; quand \(n\) est premier, \(\varphi(n)=n-1\) et l'on retrouve le petit théorème de Fermat.

Cas d’usage

  • Cryptographie : le chiffrement RSA, qui protège une grande partie des échanges sur Internet, repose sur ce théorème pour garantir que le déchiffrement avec la bonne clé redonne exactement le message d'origine.
  • Généraliser le petit théorème de Fermat à un entier \(n\) quelconque : tout nombre premier avec \(n\), élevé à la puissance \(\varphi(n)\), le nombre d'entiers inférieurs à \(n\) et premiers avec lui, laisse un reste 1 dans la division par \(n\).
  • Dernier chiffre d'une grande puissance : comme \(\varphi(10)=4\), la puissance quatrième d'un nombre premier avec 10 se termine toujours par 1, ce qui rend périodique le dernier chiffre des puissances successives.

Liens

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Sources