théorème de d'Alembert-Gauss

Conditions d'application

• Le polynôme doit être non constant : un polynôme constant non nul, comme \(P=1\), n'a aucune racine.
• Le théorème porte sur les nombres complexes : sur les réels, il existe des polynômes de degré 2 sans racine, comme \(x^2+1\).
• Sa conséquence pour les matrices, l'existence d'une valeur propre, suppose un espace de dimension finie : sur l'espace de tous les polynômes, l'application qui multiplie un polynôme par \(X\) n'a aucune valeur propre.

Cas d'usage

• Intégrer les fractions rationnelles : pour calculer l'intégrale d'un quotient de deux polynômes, on le décompose en fractions plus simples, ce qui suppose de savoir factoriser entièrement le dénominateur ; c'est ce besoin qui conduit d'Alembert, en 1746, à exiger que cette factorisation soit démontrée, et qui en fait un théorème.
• Matrices et valeurs propres : le théorème assure que toute matrice à coefficients complexes possède au moins une valeur propre, c'est-à-dire une direction que la matrice se contente d'étirer ou de contracter ; ce n'est plus vrai en dimension infinie.
• Trigonaliser une matrice : parce que les nombres complexes contiennent toujours assez de racines, toute matrice complexe peut se ramener à une forme triangulaire par un changement de repère, même quand elle ne peut pas se ramener à une forme diagonale.
• Factoriser un polynôme réel : tout polynôme à coefficients réels se décompose en facteurs du premier ou du second degré, ces derniers regroupant les paires de racines complexes qui n'ont pas de contrepartie réelle.