Histoire des mathématiques Discipline

théorie de Choquet

Discipline

domaine de l'analyse fonctionnelle et de l'analyse convexe concernant les mesures ayant un support sur les points extrémaux d'un ensemble convexe

domaine
analyse convexe · analyse fonctionnelle

Pour comprendre

La théorie de Choquet étudie des mesures définies sur des ensembles convexes, en s'intéressant particulièrement à leur support situé sur les points extrémaux de ces ensembles.

Ce qu'elle étudie

Elle porte sur la façon dont une mesure peut être représentée à partir des points extrémaux d'un ensemble convexe, ces points qui ne peuvent pas être obtenus comme combinaison d'autres points de l'ensemble.

Où elle se place

Cette discipline se situe à la croisée de l'analyse fonctionnelle et de l'analyse convexe, dont elle relève l'une comme l'autre.

Cas d’usage

Écrivons un point comme moyenne pondérée des coins d'une figure convexe, sans creux. Ces coins sont les points extrémaux : aucun n'est le milieu de deux autres points de la figure ; la théorie cherche de telles moyennes et demande si elles sont uniques.

Prenons le triangle \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(0,1)\) et \(P=(1/2,1/4)\). Cherchons des poids positifs de somme \(1\) tels que \(P=aA+bB+cC\). Les coordonnées imposent \(b=1/2\), \(c=1/4\), puis \(a=1-1/2-1/4=1/4\). Vérifions :

$$\tfrac14(0,0)+\tfrac12(1,0)+\tfrac14(0,1)$$
$${}=(1/2,1/4)$$

L'écriture est unique. Une fonction affine, qui conserve les moyennes pondérées, comme \(f(x,y)=2x+3y\), donne :

$$f(P)=1+3/4=7/4=1{,}75$$
$$\tfrac14\times0+\tfrac12\times2+\tfrac14\times3$$
$${}=1+3/4=1{,}75$$

Cherchons maintenant les poids du même point dans le carré de sommets \((0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\). Dans cet ordre, les poids \((1/4,1/2,1/4,0)\) donnent l'écriture précédente. Mais une autre convient :

$$\tfrac12(0,0)+\tfrac14(1,0)$$
$${}+0(0,1)+\tfrac14(1,1)=(1/2,1/4)$$

Chaque liste a des poids positifs ou nuls, de somme \(1\). Comme \(f(1,1)=5\), les deux moyennes restent égales :

$$\tfrac12\times2+\tfrac14\times3=1{,}75$$
$$\tfrac14\times2+\tfrac14\times5=1{,}75$$

La valeur est inchangée, mais les poids ne sont plus uniques.

Cherchons enfin les points extrémaux du disque de rayon \(1\). Ce sont tous les points du cercle : aucun n'est le milieu de deux autres points du disque. Le centre est au contraire le milieu de \((1,0)\) et \((-1,0)\).

Le point \(Q=(1/2,0)\) admet deux écritures :

$$Q=\tfrac34(1,0)+\tfrac14(-1,0)$$

Il est aussi le milieu de \((1/2,\sqrt3/2)\) et \((1/2,-\sqrt3/2)\). Ces points sont sur le cercle car \(1/4+3/4=1\), avec \(\sqrt3/2\approx0{,}8660\). Une répartition de poids sur ce cercle continu s'appelle une mesure : elle remplace la liste des poids aux coins.

Sources