Histoire des mathématiques Discipline

théorie des opérateurs

Discipline

théorie mathématique

domaine
analyse fonctionnelle

Pour comprendre

La théorie des opérateurs est une branche de l'analyse fonctionnelle consacrée à l'étude des opérateurs.

Où elle se place

Elle se rattache à l'analyse fonctionnelle, dont elle développe un aspect particulier.

flowchart TD
  P0[analyse fonctionnelle] --> D([théorie des opérateurs])

Cas d’usage

Décalons une suite. Les opérateurs transforment des suites ou des fonctions en respectant l'addition et la multiplication par un nombre.

Gardons les suites dont la somme des carrés est finie. Leur longueur, ou norme, est la racine de cette somme. L'opérateur \(S\) insère un zéro :

$$S(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$$

Ainsi, \((3,1,4,1,5,0,\ldots)\) devient \((0,3,1,4,1,5,0,\ldots)\). La somme des carrés reste \(52\) : \(S\) conserve les longueurs, donc ne confond jamais deux suites. Pourtant \((1,0,0,\ldots)\) n'est jamais atteint. En dimension finie, une transformation linéaire qui ne confond rien atteint tout : ici non.

Le décalage inverse \(S^*\) retire le premier terme. On a \(S^*S=\mathrm{identité}\), tandis que \(SS^*\) remplace le premier terme par zéro.

Une valeur propre \(\lambda\) signifie qu'une suite non nulle \(v\) vérifie \(S^*v=\lambda v\). Pour \(|\lambda|\lt1\), prenons \(v=(1,\lambda,\lambda^2,\ldots)\) : retirer le premier terme revient à tout multiplier par \(\lambda\). Pour \(\lambda=1/2\), la somme des carrés est \(1/(1-1/4)=4/3\). Pour \(\lambda=1\), elle serait infinie. En revanche, \(S\) n'a aucune valeur propre : \(Sx=\lambda x\) force tous les termes à être nuls.

Multiplions maintenant les fonctions sur \([0,1]\) par leur variable : \((Mf)(x)=xf(x)\). Leur longueur est la racine de l'intégrale de leur carré. Puisque \(|x|\le1\), elle ne grandit pas. L'égalité \(xf(x)=\lambda f(x)\) force \(f\) à être nulle sauf peut-être en \(x=\lambda\), donc de longueur nulle : aucune valeur propre.

Prenons pourtant \(f_h=1/\sqrt{2h}\) sur \([1/2-h,1/2+h]\) et zéro ailleurs. Son carré a pour intégrale \((1/(2h))\times2h=1\). L'erreur après multiplication vaut \((x-1/2)f_h\). Son carré a pour intégrale :

$$\frac1{2h}\int_{-h}^{h}t^2\,dt$$
$${}=\frac1{2h}\frac{2h^3}{3}=\frac{h^2}{3}$$

La longueur de l'erreur est \(h/\sqrt3\) : \(0{,}01732\) pour \(h=0{,}03\), puis \(0{,}001732\) pour \(h=0{,}003\). Donc \(1/2\), et de même tout point de \([0,1]\), appartient au spectre de \(M\) sans être valeur propre. Pour \(\lambda=2\), au contraire, \(g\mapsto g/(x-2)\) inverse \(M-2\) sans rien allonger, car \(|1/(x-2)|\le1\).

Liens

a compté parmi ses contributeurs
comprend

Sources