coefficient binomial

Concept

nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments

Énoncé

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}, 0 \leq k \leq n$$

La formule suppose $k$ et $n$ entiers avec $0 \le k \le n$, en posant $0! = 1$ ; quand $k > n$, on convient que le coefficient vaut 0, puisqu'on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a.

Biochimie : dans l'équation d'Adair, qui décrit la fixation d'une molécule sur une protéine à plusieurs sites, des coefficients binomiaux comptent les façons d'occuper ou de libérer un site parmi ceux qui restent.
Apprentissage automatique : la dimension de l'espace où un noyau polynomial projette implicitement les données est un coefficient binomial ; pour des images, elle atteint facilement dix milliards, d'où l'intérêt de ne jamais manipuler cet espace directement.
Dénombrement : compter les façons de choisir un certain nombre d'objets dans une collection, sans tenir compte de l'ordre, par exemple trois insectes parmi cinq.
Développer une puissance d'une somme : les coefficients se lisent directement dans le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux placés au-dessus.
Parité : un coefficient binomial est pair ou impair selon l'écriture en base deux de ses deux entiers ; c'est ce qui dessine, dans le triangle de Pascal réduit modulo deux, un motif qui se répète à toutes les échelles.